Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(1) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço e dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas e . A tarefa é analisar quais das afirmativas apresentadas são verdadeiras com base nesses sistemas.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes aumentadas, e a relação entre os vetores do conjunto .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os sistemas e . A matriz aumentada de um sistema linear inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes.
Sistema :
Isso representa o sistema homogêneo:
Sistema :
Esse sistema representa:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa cada sistema.
Sistema Homogêneo : Sistemas homogêneos sempre têm pelo menos a solução trivial (, , ). Se houver outras soluções, isso indica que os vetores , e são linearmente dependentes.
Sistema : Esse sistema busca uma combinação linear dos vetores e que resulte no vetor . Se existir solução, significa que está no espaço gerado por e , ou seja, eles são linearmente dependentes.
Passo 4
Vamos relacionar os sistemas e :
Se o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, então os vetores , e são linearmente independentes.
Se o sistema tem solução, isso implica que pode ser escrito como uma combinação linear de e , indicando dependência linear.
Passo 5
Agora, vamos considerar a afirmativa apresentada:
“Apenas I e II são verdadeiras.”
Como não temos todas as afirmativas listadas, mas sabemos que essa afirmação está dizendo que somente as primeiras duas afirmações são verdadeiras, precisamos verificar com base nos sistemas e .
Dado que tem solução (ou não), podemos inferir sobre a independência ou dependência dos vetores.
Passo 6
Conclusão:
Se tem solução, então é uma combinação linear de e , o que indica que os vetores são linearmente dependentes. Isso afetaria a veracidade das afirmativas relacionadas à dependência ou independência.
Resposta
Concluímos que a afirmativa (1) “Apenas I e II são verdadeiras” é verdadeira.