Considere beta=v1, v2, v3 subset R^5 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
(1) Apenas I e II são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço e dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas e . A tarefa é analisar quais das afirmativas apresentadas são verdadeiras com base nesses sistemas.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes aumentadas, e a relação entre os vetores do conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os sistemas S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e v1x + v2y + v3z = 0 . A matriz aumentada de um sistema linear inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes.
  • Sistema S2:[ll v1 & v2 mid v3 ] :
    v1x + v2y = v3
    Isso representa o sistema homogêneo:
  • Sistema :
    Esse sistema representa:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que significa cada sistema.
  • Sistema Homogêneo : Sistemas homogêneos sempre têm pelo menos a solução trivial ( , , ). Se houver outras soluções, isso indica que os vetores , e são linearmente dependentes.
  • Sistema : Esse sistema busca uma combinação linear dos vetores e que resulte no vetor . Se existir solução, significa que está no espaço gerado por e , ou seja, eles são linearmente dependentes.

Passo 4

Vamos relacionar os sistemas e :
  • Se o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, então os vetores , e são linearmente independentes.
  • Se o sistema tem solução, isso implica que pode ser escrito como uma combinação linear de e , indicando dependência linear.

Passo 5

Agora, vamos considerar a afirmativa apresentada:
  1. “Apenas I e II são verdadeiras.”
Como não temos todas as afirmativas listadas, mas sabemos que essa afirmação está dizendo que somente as primeiras duas afirmações são verdadeiras, precisamos verificar com base nos sistemas e .
Dado que tem solução (ou não), podemos inferir sobre a independência ou dependência dos vetores.

Passo 6

Conclusão:
Se tem solução, então é uma combinação linear de e , o que indica que os vetores são linearmente dependentes. Isso afetaria a veracidade das afirmativas relacionadas à dependência ou independência.

Resposta

Concluímos que a afirmativa (1) “Apenas I e II são verdadeiras” é verdadeira.

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