Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(1) Apenas I e II são verdadeiras.
(1) Apenas I e II são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço
e dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas
e
. A tarefa é analisar quais das afirmativas apresentadas são verdadeiras com base nesses sistemas.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares, matrizes aumentadas, e a relação entre os vetores do conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os sistemas
e
. A matriz aumentada de um sistema linear inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes.
-
Sistema
: Isso representa o sistema homogêneo: -
Sistema
: Esse sistema representa:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que significa cada sistema.
-
Sistema Homogêneo
: Sistemas homogêneos sempre têm pelo menos a solução trivial ( , , ). Se houver outras soluções, isso indica que os vetores , e são linearmente dependentes. -
Sistema
: Esse sistema busca uma combinação linear dos vetores e que resulte no vetor . Se existir solução, significa que está no espaço gerado por e , ou seja, eles são linearmente dependentes.
Passo 4
Vamos relacionar os sistemas
e
:
- Se o sistema homogêneo
tem apenas a solução trivial, então os vetores , e são linearmente independentes. - Se o sistema
tem solução, isso implica que pode ser escrito como uma combinação linear de e , indicando dependência linear.
Passo 5
Agora, vamos considerar a afirmativa apresentada:
- “Apenas I e II são verdadeiras.”
Como não temos todas as afirmativas listadas, mas sabemos que essa afirmação está dizendo que somente as primeiras duas afirmações são verdadeiras, precisamos verificar com base nos sistemas
e
.
Dado que
tem solução (ou não), podemos inferir sobre a independência ou dependência dos vetores.
Passo 6
Conclusão:
Se
tem solução, então
é uma combinação linear de
e
, o que indica que os vetores são linearmente dependentes. Isso afetaria a veracidade das afirmativas relacionadas à dependência ou independência.
Resposta
Concluímos que a afirmativa (1) “Apenas I e II são verdadeiras” é verdadeira.