Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço . O exercício apresenta dois sistemas lineares e com matrizes aumentadas envolvendo esses vetores. A afirmação que vamos analisar é: “Se é linearmente dependente (LD), então tem infinitas soluções.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como isso se relaciona com as soluções de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) entre os vetores que resulta no vetor zero.
Matematicamente, para , ser LD significa que existem escalares , não todos zero, tais que:

Passo 3

Agora, vamos conectar isso ao sistema . O sistema é representado pela matriz aumentada:
Este é um sistema homogêneo porque o lado direito (após a barra) é o vetor zero.
Um fato importante sobre sistemas homogêneos é que eles sempre têm pelo menos a solução trivial, onde todos os coeficientes são zero. Além disso, se o conjunto de vetores (as colunas da matriz) for linearmente dependente, então existem infinitas soluções além da trivial.

Passo 4

Então, se é LD, como diz a afirmação II, isso significa que existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, além da solução trivial (todos os coeficientes zero), existem outras soluções onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero.
Isso implica que o sistema não tem apenas uma solução, mas infinitas soluções.

Resposta

A afirmação II é verdadeira. Se é linearmente dependente, então o sistema possui infinitas soluções.

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