Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
© 5 x1+3 x2+2 x3=0
3 x1+2 x2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana. A matéria que a gente vai usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação para resolver sistemas lineares. Precisamos organizar as equações de forma que possamos eliminar uma das variáveis e resolver as outras passo a passo.
As equações que temos são:
5x1 + 3x2 + 2x3 = 0 3x1 + 2x2 = 1

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. Então, ficaria assim:
5 & 3 & 2 & | & 0 3 & 2 & 0 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis. Vamos eliminar 5 & 3 & 2 & | & 0 5 & 103 & 0 & | & 53 . Para isso, precisamos tornar os coeficientes de iguais para que possamos subtrair as equações facilmente. Vamos multiplicar a segunda equação por para igualar os coeficientes de :

Passo 4

Agora, vamos subtrair a segunda linha da primeira para eliminar 5 - 5 & 3 - 103 & 2 - 0 & | & 0 - 53 5 & 103 & 0 & | & 53 :
0 & -13 & 2 & | & -53 5 & 103 & 0 & | & 53
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação para 5x1 + 103x2 = 53 . A segunda equação é:
5x1 = 53 - 103x2
Vamos isolar x1 = 13 - 23x2 :

Passo 6

Vamos agora substituir -13x2 + 2x3 = -53 na primeira equação eliminada para encontrar - x2 + 6x3 = -5 . A primeira equação simplificada é:
x2 = 6x3 + 5
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar as frações:

Passo 7

Agora que temos x1 = 13 - 23(6x3 + 5) em termos de x1 = 13 - 4x3 - 103 , vamos substituir de volta na expressão de x1 = -4x3 - 3 :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4x3 - 3 x2 = 6x3 + 5 x3 é um parâmetro livre éâ
Ou seja, para qualquer valor de , podemos encontrar e usando as equações acima.

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