Sabendo que o ponto pertence ao plano , assinale valor de :
(H) 15
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de para que o ponto pertença a um certo plano no espaço. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com espaços vetoriais e planos definidos por combinações lineares. Vamos usar vetores e equações de planos para achar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano que nos foi dada. O plano está representado por:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido a partir do ponto inicial somado a combinações lineares dos vetores e .
Passo 3
Vamos chamar o ponto que queremos verificar de . Para estar no plano, deve existir um par de números e tais que:
Passo 4
Vamos quebrar isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Mas parece que houve uma pequena confusão nos coeficientes. Vamos corrigir:
Agora que encontramos a = 8 + 3(-2) a = 8 - 6 a = 2 , substituímos de volta na expressão para :
Passo 9
Com k = 1 + 2(2) + (-2)(-2) k = 1 + 4 + 4 k = 9 e , podemos encontrar usando a quarta equação:
No entanto, há uma inconsistência aqui, já que a resposta esperada é 15. Vamos verificar os cálculos novamente.
Passo 10
Revisando a terceira equação com -12 = -3(2) + 3(-2) -12 = -6 -6 -12 = -12 (Consistente) e k = 1 + 2(2) + (-2)(-2) k = 1 + 4 + 4 k = 9 :
Agora, recalculando :
Parece que, de acordo com os cálculos, . No entanto, considerando a resposta fornecida na questão como opção (H) 15, pode haver um erro no enunciado ou na interpretação inicial das equações. Certifique-se de revisar todos os passos e os coeficientes das equações.