Sabendo que o ponto (5,-8,-14, k) pertence ao plano (-3,2,-2,1)+span(1,-3,-3,2),(-3,2,3,-2), assinale o valor de k:
(H) 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de para que o ponto pertença a um certo plano no espaço. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com espaços vetoriais e planos definidos por combinações lineares. Vamos usar vetores e equações de planos para achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano que nos foi dada. O plano está representado por:
(-3, 2, -2, 1) + span(1, -3, -3, 2), (-3, 2, 3, -2)
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido a partir do ponto inicial somado a combinações lineares dos vetores e .

Passo 3

Vamos chamar o ponto que queremos verificar de (5, -8, -14, k) = (-3, 2, -2, 1) + a(1, -3, -3, 2) + b(-3, 2, 3, -2) . Para estar no plano, deve existir um par de números e tais que:

Passo 4

Vamos quebrar isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
5 = -3 + a(-3) + b(1) -8 = 2 + a(2) + b(-3) -14 = -2 + a(3) + b(-3) k = 1 + a(-2) + b(2)
Mas parece que houve uma pequena confusão nos coeficientes. Vamos corrigir:
A expressão correta é:
(5, -8, -14, k) = (-3, 2, -2, 1) + a(1, -3, -3, 2) + b(-3, 2, 3, -2)
Então, as equações ficam:
5 = -3 + a(1) + b(-3) -8 = 2 + a(-3) + b(2) -14 = -2 + a(-3) + b(3) k = 1 + a(2) + b(-2)

Passo 5

Vamos simplificar cada equação:
  1. Primeira Equação:
5 = -3 + a - 3b Rightarrow 5 + 3 = a - 3b Rightarrow 8 = a - 3b (Equação 1) çã
  1. Segunda Equação:
-8 = 2 - 3a + 2b Rightarrow -8 - 2 = -3a + 2b Rightarrow -10 = -3a + 2b (Equação 2) çã
  1. Terceira Equação:
-14 = -2 - 3a + 3b Rightarrow -14 + 2 = -3a + 3b Rightarrow -12 = -3a + 3b (Equação 3) çã

Passo 6

Agora temos um sistema com três equações:
8 = a - 3b (Equação 1) -10 = -3a + 2b (Equação 2) -12 = -3a + 3b (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver essas equações para encontrar e .

Passo 7

Primeiro, da Equação 1:
a = 8 + 3b
Agora, substitu��mos -10 = -3(8 + 3b) + 2b -10 = -24 - 9b + 2b -10 = -24 - 7b -10 + 24 = -7b 14 = -7b b = -2 na Equação 2:

Passo 8

Agora que encontramos a = 8 + 3(-2) a = 8 - 6 a = 2 , substituímos de volta na expressão para :

Passo 9

Com k = 1 + 2(2) + (-2)(-2) k = 1 + 4 + 4 k = 9 e , podemos encontrar usando a quarta equação:
No entanto, há uma inconsistência aqui, já que a resposta esperada é 15. Vamos verificar os cálculos novamente.

Passo 10

Revisando a terceira equação com -12 = -3(2) + 3(-2) -12 = -6 -6 -12 = -12 (Consistente) e k = 1 + 2(2) + (-2)(-2) k = 1 + 4 + 4 k = 9 :
Agora, recalculando :
Parece que, de acordo com os cálculos, . No entanto, considerando a resposta fornecida na questão como opção (H) 15, pode haver um erro no enunciado ou na interpretação inicial das equações. Certifique-se de revisar todos os passos e os coeficientes das equações.

Resposta

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