Sabendo que o ponto pertence ao plano , assinale valor de :
(H) 15
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o valor de para que o ponto pertença a um certo plano no espaço. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com espaços vetoriais e planos definidos por combinações lineares. Vamos usar vetores e equações de planos para achar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano que nos foi dada. O plano está representado por:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido a partir do ponto inicial somado a combinações lineares dos vetores e .
Passo 3
Vamos chamar o ponto que queremos verificar de . Para estar no plano, deve existir um par de números e tais que:
Passo 4
Vamos quebrar isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Mas parece que houve uma pequena confusão nos coeficientes. Vamos corrigir:
A expressão correta é:
Então, as equações ficam:
Passo 5
Vamos simplificar cada equação:
Primeira Equação:
çã
Segunda Equação:
çã
Terceira Equação:
çã
Passo 6
Agora temos um sistema com três equações:
çãçãçã
Vamos resolver essas equações para encontrar e .
Passo 7
Primeiro, da Equação 1:
Agora, substitu��mos na Equação 2:
Passo 8
Agora que encontramos , substituímos de volta na expressão para :
Passo 9
Com e , podemos encontrar usando a quarta equação:
No entanto, há uma inconsistência aqui, já que a resposta esperada é 15. Vamos verificar os cálculos novamente.
Passo 10
Revisando a terceira equação com e :
Agora, recalculando :
Parece que, de acordo com os cálculos, . No entanto, considerando a resposta fornecida na questão como opção (H) 15, pode haver um erro no enunciado ou na interpretação inicial das equações. Certifique-se de revisar todos os passos e os coeficientes das equações.