Considere o sistema:
Mostre que o sistema possui infinitas soluções e descreva como expressar a solução em termos de variáveis livres.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
O objetivo é mostrar que esse sistema tem infinitas soluções e explicar como podemos expressar essas soluções usando variáveis livres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e soluções parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as equações. Vem pra gente que as três equações são na verdade múltiplos umas das outras. Por exemplo, a segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 2, e a terceira é a primeira multiplicada por 3.
Isso significa que na verdade, todas as equações estão representando a mesma reta no espaço tridimensional. Quando isso acontece, o sistema não tem uma única solução, mas sim uma infinidade delas. Isso ocorre porque temos mais variáveis (três: x, y, z) do que equações independentes (na verdade, apenas uma equação única, já que as outras são redundantes).

Passo 3

Para deixar isso mais claro e formal, vamos resolver o sistema. Vamos pegar a primeira equação:
Podemos escolher duas variáveis para serem livres, ou seja, podemos expressá-las em termos de parâmetros. Vamos escolher, por exemplo, e como variáveis livres. Isso significa que vamos atribuir a elas valores quaisquer e resolver para .

Passo 4

A partir da equação , isolamos :
Agora, como e são livres, podemos atribuir a elas parâmetros, digamos e respectivamente. Então, temos:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 5

Portanto, a solução geral do sistema pode ser escrita em termos dos parâmetros e :
Isso mostra que para qualquer valor que a gente escolher para e , teremos uma solução válida para o sistema. Como e podem ser quaisquer números reais, isso confirma que o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções que podem ser expressas como:
onde e são variáveis livres escolhidas livremente.

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Defina o que é uma matriz em forma escalonada reduzida e descreva suas propriedades.
Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Todo sistema linear tem uma única solução.
(b) Um pivô em uma matriz é sempre igual a 1.
© Variáveis livres são aquelas que podem ser expressas em função das variáveis básicas.
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(a) o sistema não tem solução;
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
© o sistema tem infinitas soluções?
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.