Mostre que o sistema possui infinitas soluções e descreva como expressar a solução em termos de variáveis livres.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de três equações com três incógnitas:
O objetivo é mostrar que esse sistema tem infinitas soluções e explicar como podemos expressar essas soluções usando variáveis livres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e soluções parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as equações. Vem pra gente que as três equações são na verdade múltiplos umas das outras. Por exemplo, a segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 2, e a terceira é a primeira multiplicada por 3.
Isso significa que na verdade, todas as equações estão representando a mesma reta no espaço tridimensional. Quando isso acontece, o sistema não tem uma única solução, mas sim uma infinidade delas. Isso ocorre porque temos mais variáveis (três: x, y, z) do que equações independentes (na verdade, apenas uma equação única, já que as outras são redundantes).
Passo 3
Para deixar isso mais claro e formal, vamos resolver o sistema. Vamos pegar a primeira equação:
Podemos escolher duas variáveis para serem livres, ou seja, podemos expressá-las em termos de parâmetros. Vamos escolher, por exemplo, e como variáveis livres. Isso significa que vamos atribuir a elas valores quaisquer e resolver para .
Passo 4
A partir da equação , isolamos :
Agora, como e são livres, podemos atribuir a elas parâmetros, digamos e respectivamente. Então, temos:
Substituindo de volta na expressão para :
Passo 5
Portanto, a solução geral do sistema pode ser escrita em termos dos parâmetros e :
Isso mostra que para qualquer valor que a gente escolher para e , teremos uma solução válida para o sistema. Como e podem ser quaisquer números reais, isso confirma que o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções que podem ser expressas como:
onde e são variáveis livres escolhidas livremente.