Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(a) o sistema não tem solução;
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
© o sistema tem infinitas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado mostra um sistema de três equações lineares:
A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de retas no plano cartesiano. Precisaremos entender como duas ou mais retas se posicionam umas em relação às outras: se são paralelas, se se intersectam em um ponto, ou se são coincidentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada equação representa uma reta no plano. A posição relativa de três retas pode se dar de três formas principais:
  1. Sem solução: As três retas não têm um ponto comum de interseção.
  2. Exatamente uma solução: As três retas se cruzam todas em um único ponto.
  3. Infinitas soluções: As três retas são coincidentes, ou seja, coincidem em uma única reta.

Passo 3

Para analisar essas situações, vamos usar o conceito de sistema de equações. Um sistema sem solução significa que não há nenhum ponto que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Isso geralmente ocorre quando as retas são paralelas ou duas são paralelas e a terceira cruza uma delas.

Passo 4

Quando o sistema tem exatamente uma solução, significa que existe um ponto específico que satisfaz todas as três equações. Geometricamente, isso quer dizer que as três retas se intersectam exatamente nesse ponto, formando um ponto de encontro único.

Passo 5

Por fim, se o sistema tem infinitas soluções, todas as equações representam a mesma reta. Isso significa que as três retas estão coincidentes, ou seja, sobrepõem-se completamente no plano cartesiano.

Resposta

(a) Quando o sistema não tem solução: As três retas não têm nenhum ponto em comum. Isso pode acontecer se pelo menos duas retas forem paralelas e a terceira não intersectar essas.
(b) Quando o sistema tem exatamente uma solução: As três retas se intersectam todas em um único ponto. Ou seja, existe um único par que satisfaz todas as três equações.
© Quando o sistema tem infinitas soluções: As três retas são coincidentes, ou seja, todas coincidem na mesma reta, compartilhando infinitos pontos em comum.

Exercícios relacionados

Considere o sistema:
Mostre que o sistema possui infinitas soluções e descreva como expressar a solução em termos de variáveis livres.
Defina o que é uma matriz em forma escalonada reduzida e descreva suas propriedades.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
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