Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
III - Se
é LI, então
tem solução única.
III - Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto de vetores
no espaço
e dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas
e
. A afirmativa que vamos analisar é a seguinte:
III - Se
é LI, então
tem solução única.
Vamos precisar entender o que significa os vetores serem linearmente independentes (LI) e como isso afeta a solução do sistema
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o conceito de linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não-trivial desses vetores resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, para os vetores
, isso significa que se
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sistema
:
Esse sistema representa as equações:
Queremos saber se esse sistema tem uma solução única dado que
é LI.
Passo 4
Para que
tenha solução única, o sistema deve ser compatível e determinado. Isso acontece quando as colunas da matriz dos coeficientes (
e
) são linearmente independentes e o vetor
está no espaço gerado por
e
.
No entanto, como
é LI, sabemos que
são linearmente independentes. Isso implica que
não pode ser uma combinação linear de
e
, ou seja,
não está no espaço gerado por
e
. Portanto, o sistema
é incompatível.
Resposta
A afirmativa III é falsa.
Exercícios relacionados
Sabendo que o ponto
pertence ao plano
, assinale
valor de
:
(H) 15
(H) 15
Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
©
©
(a)
e a multiplicação escalar usual.
(b) e
© O conjunto de todas as matrizes da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
(b)
© O conjunto de todas as matrizes
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)