Considere beta=v1, v2, v3 subset R^5 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
III - Se beta é LI, então S2 tem solução única.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um conjunto de vetores no espaço e dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas e . A afirmativa que vamos analisar é a seguinte:
III - Se é LI, então tem solução única.
Vamos precisar entender o que significa os vetores serem linearmente independentes (LI) e como isso afeta a solução do sistema .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o conceito de linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não-trivial desses vetores resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, para os vetores , isso significa que se , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sistema S2: [ll v1 & v2 mid v3 ] :
v1 x1 + v2 x2 = v3
Esse sistema representa as equações:
Queremos saber se esse sistema tem uma solução única dado que é LI.

Passo 4

Para que tenha solução única, o sistema deve ser compatível e determinado. Isso acontece quando as colunas da matriz dos coeficientes ( e ) são linearmente independentes e o vetor está no espaço gerado por e .
No entanto, como é LI, sabemos que são linearmente independentes. Isso implica que não pode ser uma combinação linear de e , ou seja, não está no espaço gerado por e . Portanto, o sistema é incompatível.

Resposta

A afirmativa III é falsa.

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