(a)
e a multiplicação escalar usual.
(b)
e
© O conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
(b)
© O conjunto de todas as matrizes
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para verificar se certos conjuntos com operações definidas são espaços vetoriais. Isso faz parte de Álgebra Linear, onde estudamos os espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se cada conjunto atende a essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (um número real). Para que seja um espaço vetorial, essas operações precisam seguir certas regras, como associatividade, comutatividade da adição, existência de um vetor zero, etc.
Passo 3
Agora, vamos analisar o item a):
Temos com a operação de adição definida por
e a multiplicação escalar usual. Vamos ver se isso satisfaz as regras de um espaço vetorial.
Temos
Passo 4
Uma das regras é que a adição precisa ser comutativa. Ou seja,
. Mas aqui,
e
, o que parece funcionar. Porém, outra regra importante é a existência do vetor zero, que deveria ser
.
Passo 5
Vamos verificar se
funciona como vetor zero. Usando a operação de adição:
. Isso não retorna
, a menos que
, o que não é sempre o caso. Então, não temos um vetor zero que funcione para todos os vetores no conjunto.
Passo 6
Além disso, a operação de adição não preserva o segundo componente, o que quebra a estrutura necessária para um espaço vetorial. Portanto, o item a) não é um espaço vetorial.
Passo 7
Vamos para o item b):
Aqui, com a adição definida por
e a multiplicação escalar por
. Vamos checar as propriedades.
Aqui,
Passo 8
Primeiro, a operação de adição parece estranha: somamos os primeiros componentes de forma diferente. Vamos ver se o vetor zero existe: precisaríamos de um vetor
tal que
. Mas
implica
e
, o que só acontece se
e
, ou seja, não funciona para todos os vetores.
Passo 9
Além disso, a multiplicação escalar está estranha também, pois envolve
em vez de
. Isso faz com que a operação não seja compatível com as propriedades exigidas para um espaço vetorial, como a distribuição do escalar sobre a adição de vetores.
Passo 10
Portanto, como não conseguimos definir um vetor zero válido e a multiplicação escalar não segue as regras, o item b) não é um espaço vetorial.
Passo 11
Por último, vamos analisar o item c):
O conjunto consiste em todas as matrizes da forma
com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Vamos ver se isso forma um espaço vetorial.
O conjunto consiste em todas as matrizes
Passo 12
Primeiro, a adição de duas dessas matrizes é
, que está dentro do conjunto. O vetor zero seria
, que também está no conjunto.
Passo 13
A multiplicação por escalar funciona normalmente:
, que também está no conjunto. Todas as propriedades de espaço vetorial, como associatividade, comutatividade, existência do vetor zero e inversos, são satisfeitas.
Resposta
a) Não é espaço vetorial
b) Não é espaço vetorial
c) É espaço vetorial
b) Não é espaço vetorial
c) É espaço vetorial
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, assinale
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:
(H) 15
(H) 15
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(a) definida por
.
(a)
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