Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que pega uma matriz e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que define uma transformação linear e verificar se a função cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é chamada de transformação linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e qualquer vetor em .
Precisamos verificar se a função que calcula o determinante satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja e duas matrizes . Precisamos verificar se:
Sabemos que o determinante de uma soma de matrizes não é igual à soma dos determinantes:
Por exemplo, considere:
Então:
Calculando os determinantes:
Claramente, , então a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e uma matriz . Precisamos verificar se:
Calculando:
Isso ocorre porque ao multiplicar uma matriz por um escalar , o determinante é multiplicado por , onde é a ordem da matriz (neste caso, 2). Portanto:
Isso mostra que a homogeneidade também não é satisfeita para todos os escalares .

Passo 5

Como a função não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, podemos concluir que ela não é uma transformação linear.

Resposta

A função que mapeia uma matriz para seu determinante não é uma transformação linear.

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(a) e a multiplicação escalar usual.
(b) e
© O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
III - Se é LI, então tem solução única.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.