Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a)
definida por
.
(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que pega uma matriz
e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que define uma transformação linear e verificar se a função
cumpre essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é chamada de transformação linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e em . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e qualquer vetor em .
Precisamos verificar se a função
que calcula o determinante satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos testar a aditividade. Seja
e
duas matrizes
. Precisamos verificar se:
Sabemos que o determinante de uma soma de matrizes não é igual à soma dos determinantes:
Por exemplo, considere:
Então:
Calculando os determinantes:
Claramente,
, então a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
uma matriz
. Precisamos verificar se:
Calculando:
Isso ocorre porque ao multiplicar uma matriz por um escalar
, o determinante é multiplicado por
, onde
é a ordem da matriz (neste caso, 2). Portanto:
Isso mostra que a homogeneidade também não é satisfeita para todos os escalares
.
Passo 5
Como a função
não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, podemos concluir que ela não é uma transformação linear.
Resposta
A função
que mapeia uma matriz
para seu determinante não é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
(a)
e a multiplicação escalar usual.
(b) e
© O conjunto de todas as matrizes da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
(b)
© O conjunto de todas as matrizes
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
III - Se é LI, então
tem solução única.
III - Se
Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então
tem infinitas solução.
I - Se
Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.
(E) Todas são falsas.