Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) T: M(2,2) R definida por T([llx & y z & w])=det[llx & y z & w].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que pega uma matriz e retorna um número real, especificamente o determinante dessa matriz. O conteúdo envolvido aqui é transformações lineares. Para resolver isso, precisamos saber o que define uma transformação linear e verificar se a função cumpre essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é chamada de transformação linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e qualquer vetor em .
Precisamos verificar se a função que calcula o determinante satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos testar a aditividade. Seja T(A + B) = T(A) + T(B) e det(A + B) neq det(A) + det(B) duas matrizes A = 1 & 0 0 & 1, B = 1 & 0 0 & 1 . Precisamos verificar se:
A + B = 2 & 0 0 & 2
Sabemos que o determinante de uma soma de matrizes não é igual à soma dos determinantes:
det(A) = 1, det(B) = 1, det(A + B) = 4
Por exemplo, considere:
Então:
Calculando os determinantes:
Claramente, , então a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cA) = cT(A) um escalar e det(cA) = c^2 det(A) uma matriz c^2 det(A) neq c det(A) a menos que c = 0 ou 1 . Precisamos verificar se:
Calculando:
Isso ocorre porque ao multiplicar uma matriz por um escalar , o determinante é multiplicado por , onde é a ordem da matriz (neste caso, 2). Portanto:
Isso mostra que a homogeneidade também não é satisfeita para todos os escalares .

Passo 5

Como a função não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, podemos concluir que ela não é uma transformação linear.

Resposta

A função que mapeia uma matriz para seu determinante não é uma transformação linear.

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