Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores no espaço e dois sistemas lineares, e , representados pelas matrizes aumentadas que você mostrou. Vamos analisar a afirmativa:
I - Se é LD, então tem infinitas soluções.
Aqui, “LD” significa que os vetores são Linearmente Dependentes. O conteúdo que vamos precisar envolve sistemas lineares, soluções de sistemas e o conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação do tipo , onde nem todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o sistema :
Esse sistema representa as equações:
Estamos procurando valores de e que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Se é linearmente dependente, sabemos que existe uma relação dos vetores. Por exemplo, suponha que para alguns escalares e . Substituindo na equação do sistema , teríamos:
Isso implica que:

Passo 5

Como e estão no espaço , e supondo que sejam vetores diferentes (já que o conjunto é LD por causa de ), podemos ter múltiplas soluções para e que satisfaçam a equação acima. Isso significa que o sistema não tem uma única solução, mas sim infinitas soluções.

Resposta

A afirmativa I é verdadeira. Se é linearmente dependente, então o sistema tem infinitas soluções.

Exercícios relacionados

Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por .
(a) e a multiplicação escalar usual.
(b) e
© O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.
Seja a transformação linear tal que
Determine:
(a) .