Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
I - Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores
no espaço
e dois sistemas lineares,
e
, representados pelas matrizes aumentadas que você mostrou. Vamos analisar a afirmativa:
I - Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
Aqui, “LD” significa que os vetores são Linearmente Dependentes. O conteúdo que vamos precisar envolve sistemas lineares, soluções de sistemas e o conceito de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação do tipo
, onde nem todos os coeficientes
são zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o sistema
:
Esse sistema representa as equações:
Estamos procurando valores de
e
que satisfaçam essa equação.
Passo 4
Se
é linearmente dependente, sabemos que existe uma relação dos vetores. Por exemplo, suponha que
para alguns escalares
e
. Substituindo na equação do sistema
, teríamos:
Isso implica que:
Passo 5
Como
e
estão no espaço
, e supondo que sejam vetores diferentes (já que o conjunto é LD por causa de
), podemos ter múltiplas soluções para
e
que satisfaçam a equação acima. Isso significa que o sistema
não tem uma única solução, mas sim infinitas soluções.
Resposta
A afirmativa I é verdadeira. Se
é linearmente dependente, então o sistema
tem infinitas soluções.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)
(a)
e a multiplicação escalar usual.
(b) e
© O conjunto de todas as matrizes da forma
com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
(b)
© O conjunto de todas as matrizes
Resposta: a) Não é espaço vetorial b) não é espaço vetorial c) é espaço vetorial
Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.
(E) Todas são falsas.
Seja
a transformação linear tal que
Determine:
(a) .
(a)