Considere beta=v1, v2, v3 subset R^5 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LD, então S2 tem infinitas solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^5 e dois sistemas lineares, S1 e S2, representados pelas matrizes aumentadas que você mostrou. Vamos analisar a afirmativa:
I - Se beta é LD, então S2 tem infinitas soluções.
Aqui, “LD” significa que os vetores são Linearmente Dependentes. O conteúdo que vamos precisar envolve sistemas lineares, soluções de sistemas e o conceito de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente (LD). Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação do tipo a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0, onde nem todos os coeficientes ai são zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o sistema S2:
S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Esse sistema representa as equações:
v1 x + v2 y = v3
Estamos procurando valores de x e y que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Se beta é linearmente dependente, sabemos que existe uma relação dos vetores. Por exemplo, suponha que v3 = av1 + bv2 para alguns escalares a e b. Substituindo na equação do sistema S2, teríamos:
v1 x + v2 y = av1 + bv2
Isso implica que:
v1 (x - a) + v2 (y - b) = 0

Passo 5

Como v1 e v2 estão no espaço R^5, e supondo que sejam vetores diferentes (já que o conjunto é LD por causa de v3), podemos ter múltiplas soluções para x e y que satisfaçam a equação acima. Isso significa que o sistema S2 não tem uma única solução, mas sim infinitas soluções.

Resposta

A afirmativa I é verdadeira. Se beta é linearmente dependente, então o sistema S2 tem infinitas soluções.

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