Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de três vetores no espaço . E nos são apresentados dois sistemas lineares com as matrizes aumentadas e . A questção quer que a gente analise as afirmações dadas e, especificamente, verificar se a opção (E) “Todas são falsas” é verdadeira.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, independência linear e como as matrizes aumentadas representam esses sistemas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o sistema :
Esse é um sistema homogêneo, ou seja, igual a zero. Em termos de vetores, isso quer dizer que estamos procurando combinações lineares dos vetores , e que resultem no vetor nulo.

Passo 3

Agora, vamos olhar o sistema :
Esse é um sistema não homogêneo, pois o vetor do lado direito é . Aqui, queremos saber se pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Passo 4

Vamos lembrar que em , um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se for independente, o único solução para é a trivial (todos os coeficientes são zero). Se for dependente, existem soluções não triviais.
No sistema , se puder ser escrito como combinação de e , isso implica que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Agora, vamos analisar a afirmação (E): “Todas são falsas.”
Isso significa que todas as outras opções estão erradas. Mas como não temos as outras opções aqui, vamos focar no que podemos concluir a partir dos sistemas e .
Se os vetores forem linearmente independentes, então:
  • O sistema tem apenas a solução trivial.
  • O sistema não tem solução, pois não pode ser escrito como combinação de e .
Se forem dependentes:
  • O sistema tem soluções não triviais.
  • O sistema tem pelo menos uma solução.

Passo 6

Sem as outras afirmações, fica difícil dizer se a opção (E) “Todas são falsas” está correta. Porém, baseado no que analisamos:
  • Se os vetores forem independentes, isso alinha com algumas situações específicas nas opções, podendo tornar a afirmação (E) verdadeira ou falsa dependendo das outras afirmações.
  • Se forem dependentes, também isso afeta a veracidade da opção (E).

Passo 7

Como a opção (E) afirma que “Todas são falsas”, e nossas análises mostram que existem cenários onde as afirmações podem ser verdadeiras ou falsas, a opção (E) não sempre será verdadeira. Portanto, a afirmação de que “Todas são falsas” é, na maioria das vezes, falsa.

Resposta

A afirmação (E) “Todas são falsas” é falsa.

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Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por .
Seja a transformação linear tal que
Determine:
(a) .
Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então pode ser LD.
II - Se são coplanares, então pode ser LI.
III - Se e são LIs, então é LI.