Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.
(E) Todas são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de três vetores
no espaço
. E nos são apresentados dois sistemas lineares com as matrizes aumentadas
e
. A questção quer que a gente analise as afirmações dadas e, especificamente, verificar se a opção (E) “Todas são falsas” é verdadeira.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares, independência linear e como as matrizes aumentadas representam esses sistemas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o sistema
:
Esse é um sistema homogêneo, ou seja, igual a zero. Em termos de vetores, isso quer dizer que estamos procurando combinações lineares dos vetores
,
e
que resultem no vetor nulo.
Passo 3
Agora, vamos olhar o sistema
:
Esse é um sistema não homogêneo, pois o vetor do lado direito é
. Aqui, queremos saber se
pode ser expresso como uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Vamos lembrar que em
, um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se for independente, o único solução para
é a trivial (todos os coeficientes são zero). Se for dependente, existem soluções não triviais.
No sistema
, se
puder ser escrito como combinação de
e
, isso implica que os vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Agora, vamos analisar a afirmação (E): “Todas são falsas.”
Isso significa que todas as outras opções estão erradas. Mas como não temos as outras opções aqui, vamos focar no que podemos concluir a partir dos sistemas
e
.
Se os vetores forem linearmente independentes, então:
- O sistema
tem apenas a solução trivial. - O sistema
não tem solução, pois não pode ser escrito como combinação de e .
Se forem dependentes:
- O sistema
tem soluções não triviais. - O sistema
tem pelo menos uma solução.
Passo 6
Sem as outras afirmações, fica difícil dizer se a opção (E) “Todas são falsas” está correta. Porém, baseado no que analisamos:
- Se os vetores forem independentes, isso alinha com algumas situações específicas nas opções, podendo tornar a afirmação (E) verdadeira ou falsa dependendo das outras afirmações.
- Se forem dependentes, também isso afeta a veracidade da opção (E).
Passo 7
Como a opção (E) afirma que “Todas são falsas”, e nossas análises mostram que existem cenários onde as afirmações podem ser verdadeiras ou falsas, a opção (E) não sempre será verdadeira. Portanto, a afirmação de que “Todas são falsas” é, na maioria das vezes, falsa.
Resposta
A afirmação (E) “Todas são falsas” é falsa.
Exercícios relacionados
Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então
tem infinitas solução.
I - Se
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)
Seja
a transformação linear tal que
Determine:
(a) .
(a)
Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então
pode ser LD.
II - Se são coplanares, então
pode ser LI.
III - Se e
são LIs, então
é LI.
I - Se
II - Se
III - Se