Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores de para . O enunciado nos dá duas imagens dessa transformação: e . Nosso objetivo aqui é descobrir como essa transformação age em qualquer vetor de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são números que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que ao aplicar A 1 -1 = 3 2 -2 em A -1 2 = 1 -1 3 e , obtemos os vetores e , respectivamente. Escrevendo isso na forma de equações, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz a & b c & d e & f 1 -1 = a - b c - d e - f = 3 2 -2 pelos vetores dados:
Para a - b = 3 c - d = 2 e - f = -2 :
Isso nos dá três equações:
Passo 5
Para a & b c & d e & f -1 2 = -a + 2b -c + 2d -e + 2f = 1 -1 3 :
- a + 2b = 1 - c + 2d = -1 - e + 2f = 3
Isso nos dá mais três equações:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para cada linha da matriz a - b = 3 (1) - a + 2b = 1 (2) :
Para (a - b) + (-a + 2b) = 3 + 1 Rightarrow b = 4 e a - 4 = 3 Rightarrow a = 7 :
c - d = 2 (3) - c + 2d = -1 (4)
Vamos resolver esse sistema:
Somando as duas equações:
(c - d) + (-c + 2d) = 2 + (-1) Rightarrow d = 1
Substituindo c - 1 = 2 Rightarrow c = 3 na equação (1):
e - f = -2 (5) - e + 2f = 3 (6)
Para (e - f) + (-e + 2f) = -2 + 3 Rightarrow f = 1 e e - 1 = -2 Rightarrow e = -1 :
Somando as equações:
Substituindo na equação (3):
Para e :
Somando as equações:
Substituindo na equação (5):
Passo 7
Agora que encontramos todos os valores, a matriz A = 7 & 4 3 & 1 -1 & 1 fica:
Passo 8
Então, para qualquer vetor T(x, y) = A x y = 7x + 4y 3x + y - x + y em , a transformação é dada por:
Resposta
A transformação linear T(x, y) = 7x + 4y 3x + y - x + y é: