Seja a transformação linear tal que
Determine:
(a) .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores de para . O enunciado nos dá duas imagens dessa transformação: e . Nosso objetivo aqui é descobrir como essa transformação age em qualquer vetor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são números que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que ao aplicar em e , obtemos os vetores e , respectivamente. Escrevendo isso na forma de equações, temos:

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados:
Para :
Isso nos dá três equações:

Passo 5

Para :
Isso nos dá mais três equações:

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações para cada linha da matriz :
Para e :
Vamos resolver esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):
Para e :
Somando as equações:
Substituindo na equação (3):
Para e :
Somando as equações:
Substituindo na equação (5):

Passo 7

Agora que encontramos todos os valores, a matriz fica:

Passo 8

Então, para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Resposta

A transformação linear é:

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Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
(E) Todas são falsas.
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então pode ser LD.
II - Se são coplanares, então pode ser LI.
III - Se e são LIs, então é LI.
Expresse matricialmente os sistemas:


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