Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear que pega vetores de para . O enunciado nos dá duas imagens dessa transformação: e . Nosso objetivo aqui é descobrir como essa transformação age em qualquer vetor de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz terá 3 linhas e 2 colunas. Vamos chamar essa matriz de:
Aqui, são números que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que ao aplicar em e , obtemos os vetores e , respectivamente. Escrevendo isso na forma de equações, temos:
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelos vetores dados:
Para :
Isso nos dá três equações:
Passo 5
Para :
Isso nos dá mais três equações:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações para cada linha da matriz :
Para e :
Vamos resolver esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação (1):
Para e :
Somando as equações:
Substituindo na equação (3):
Para e :
Somando as equações:
Substituindo na equação (5):
Passo 7
Agora que encontramos todos os valores, a matriz fica:
Passo 8
Então, para qualquer vetor em , a transformação é dada por: