Seja um conjunto de 3 vetores distintos de . Sejam . Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LI, então pode ser LD.
II - Se são coplanares, então pode ser LI.
III - Se e são LIs, então é LI.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos um conjunto de três vetores diferentes no espaço tridimensional e três subconjuntos desses vetores. Precisamos analisar três afirmações sobre a independência linear desses vetores. Vamos usar conceitos de independência linear (LI), dependência linear (LD) e coplanaridade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Em outras palavras, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros. Isso é importante porque se o conjunto é LI, ele não tem redundâncias.
Passo 3
Vamos analisar a afirmativa I: “Se S é LI, então A pode ser LD.”
S é LI significa que os três vetores juntos não têm redundância.
A = {v₁, v₂}. Se S é LI, então A também deve ser LI porque, se dois vetores fossem LD, S também seria LD (já que teríamos uma redundância desde o começo).
Portanto, se S é LI, A não pode ser LD. Então, a afirmação I é falsa.
Passo 4
Agora, a afirmativa II: “Se v₁, v₂, v₃ são coplanares, então S pode ser LI.”
Coplanares significa que todos os vetores estão no mesmo plano.
Em ℝ³, se três vetores são coplanares, sempre existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero, o que os torna linearmente dependentes (LD).
Portanto, se os vetores são coplanares, S não pode ser LI. Assim, a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Por último, a afirmativa III: “Se A e B são LIs, então C é LI.”
A = {v₁, v₂} ser LI implica que v₁ e v₂ não são múltiplos um do outro.
B = {v₁, v₃} ser LI implica que v₁ e v₃ também não são múltiplos um do outro.
Se tanto A quanto B são LI, então v₂ e v₃ não estão na mesma direção que v₁, o que sugere que C = {v₂, v₃} também não são múltiplos um do outro, tornando C LI.