Considere beta=v1, v2, v3 subset R^6 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
(F) Todas são falsas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^6 e dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas S1 e S2. A pergunta quer que a gente analise três afirmações sobre a combinação linear desses vetores e verifique se elas são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar entender de independência linear (LI) e dependência linear (LD), além de como resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa beta ser linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
  • Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 é a1 = a2 = a3 = 0.
  • Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Nesse caso, existe uma solução diferente de zero para a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada sistema:
  • Sistema S1:
    S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ]
    Esse sistema está tentando encontrar combinações lineares dos vetores v1, v2 e v3 que resultem no vetor zero.
  • Sistema S2:
    S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
    Aqui, estamos tentando expressar v3 como uma combinação linear de v1 e v2.

Passo 4

Vamos analisar cada afirmação:
I - Se beta é LI, então S2 não tem solução.
Se beta for LI, isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Então, especificamente, v3 não pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2. Logo, o sistema S2 não teria solução.
II - Se beta é LD, então S2 pode ter solução única.
Se beta for LD, isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, se v3 pode ser escrito como combinação de v1 e v2, o sistema S2 teria uma solução. No entanto, como é um sistema com duas equações e três incógnitas, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da relação entre os vetores. Então, a afirmação de que pode ter solução única não é necessariamente verdadeira.
III - Se beta é LI, então S1 tem solução única.
Se beta for LI, o único conjunto de coeficientes que satisfaz a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0 é a1 = a2 = a3 = 0. Isso significa que o sistema S1 tem apenas a solução trivial, ou seja, solução única.

Passo 5

Agora, vamos resumir as análises das afirmações:
  • I: Verdadeira. Se beta é LI, S2 não tem solução.
  • II: Falsa. Se beta é LD, S2 pode ter infinitas soluções, mas não necessariamente uma única.
  • III: Verdadeira. Se beta é LI, S1 tem solução única.
Portanto, nem todas as afirmações são falsas.

Resposta

Nem todas as afirmações são falsas. As afirmações I e III são verdadeiras, enquanto a II é falsa.

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