Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
(F) Todas são falsas.
I - Se
II - Se
III - Se
(F) Todas são falsas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço
e dois sistemas lineares representados pelas matrizes aumentadas
e
. A pergunta quer que a gente analise três afirmações sobre a combinação linear desses vetores e verifique se elas são verdadeiras ou falsas. Para resolver isso, vamos precisar entender de independência linear (LI) e dependência linear (LD), além de como resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD).
-
Linearmente Independente (LI): Um conjunto de vetores é LI se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para
é . -
Linearmente Dependente (LD): Um conjunto de vetores é LD se pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Nesse caso, existe uma solução diferente de zero para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada sistema:
-
Sistema
: Esse sistema está tentando encontrar combinações lineares dos vetores, e que resultem no vetor zero. -
Sistema
: Aqui, estamos tentando expressarcomo uma combinação linear de e .
Passo 4
Vamos analisar cada afirmação:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
Se
for LI, isso significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Então, especificamente,
não pode ser escrito como combinação linear de
e
. Logo, o sistema
não teria solução.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
Se
for LD, isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Portanto, se
pode ser escrito como combinação de
e
, o sistema
teria uma solução. No entanto, como é um sistema com duas equações e três incógnitas, pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da relação entre os vetores. Então, a afirmação de que pode ter solução única não é necessariamente verdadeira.
III - Se
é LI, então
tem solução única.
Se
for LI, o único conjunto de coeficientes que satisfaz
é
. Isso significa que o sistema
tem apenas a solução trivial, ou seja, solução única.
Passo 5
Agora, vamos resumir as análises das afirmações:
- I: Verdadeira. Se
é LI, não tem solução. - II: Falsa. Se
é LD, pode ter infinitas soluções, mas não necessariamente uma única. - III: Verdadeira. Se
é LI, tem solução única.
Portanto, nem todas as afirmações são falsas.
Resposta
Nem todas as afirmações são falsas. As afirmações I e III são verdadeiras, enquanto a II é falsa.