Mostre que se A tem uma linha de zeros e B é uma matriz qualquer para a qual o produto A B está definido, então a matriz A B também tem uma linha de zeros. Isso prova que uma matriz com uma linha de zeros não tem inversa?. Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos duas matrizes, e . A matriz possui uma linha de zeros, e é qualquer matriz com a qual o produto está definido. Nosso objetivo é mostrar que também terá uma linha de zeros e, com isso, provar que uma matriz com uma linha de zeros não tem inversa. Para resolver isso, precisamos entender como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades das matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar como multiplicamos duas matrizes. Se (A times B)i,j = sumk=1^n Ai,k times Bk,j é uma matriz de dimensão e é uma matriz de dimensão , o produto será uma matriz de dimensão . Cada elemento de é calculado somando o produto dos elementos correspondentes da linha de e da coluna de :

Passo 3

Dado que a matriz tem uma linha de zeros, vamos considerar essa linha específica, digamos a linha . Isso significa que todos os elementos para todo . Agora, vamos calcular a linha do produto .

Passo 4

Aplicando a fórmula da multiplicação de matrizes para a linha (A times B)r,j = sumk=1^n Ar,k times Bk,j = sumk=1^n 0 times Bk,j = 0 :
Portanto, todos os elementos da linha de serão zero, ou seja, também terá uma linha de zeros.

Passo 5

Agora, vamos discutir sobre a inversa de uma matriz. Uma matriz C times C^-1 = I possui uma inversa se existe uma matriz tal que:
onde é a matriz identidade. A matriz identidade não tem linhas de zeros; todas as suas linhas contêm exatamente um 1 em uma posição única e zeros nas demais posições.

Passo 6

Se uma matriz tem uma linha de zeros, como mostramos, ao multiplicá-la por qualquer matriz compatível, o produto também terá uma linha de zeros. No entanto, para que , o produto deveria resultar na matriz identidade, que não possui nenhuma linha de zeros. Isso gera uma contradição, já que não podemos obter uma matriz sem linhas de zeros a partir de uma matriz que possui uma linha de zeros.

Resposta

Portanto, uma matriz que possui uma linha de zeros não possui inversa.

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