Mostre que se
tem uma linha de zeros e
é uma matriz qualquer para a qual o produto
está definido, então a matriz
também tem uma linha de zeros. Isso prova que uma matriz com uma linha de zeros não tem inversa?. Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos duas matrizes,
e
. A matriz
possui uma linha de zeros, e
é qualquer matriz com a qual o produto
está definido. Nosso objetivo é mostrar que
também terá uma linha de zeros e, com isso, provar que uma matriz com uma linha de zeros não tem inversa. Para resolver isso, precisamos entender como funciona a multiplicação de matrizes e as propriedades das matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar como multiplicamos duas matrizes. Se
é uma matriz de dimensão
e
é uma matriz de dimensão
, o produto
será uma matriz de dimensão
. Cada elemento
de
é calculado somando o produto dos elementos correspondentes da linha
de
e da coluna
de
:
Passo 3
Dado que a matriz
tem uma linha de zeros, vamos considerar essa linha específica, digamos a linha
. Isso significa que todos os elementos
para todo
. Agora, vamos calcular a linha
do produto
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da multiplicação de matrizes para a linha
:
Portanto, todos os elementos da linha
de
serão zero, ou seja,
também terá uma linha de zeros.
Passo 5
Agora, vamos discutir sobre a inversa de uma matriz. Uma matriz
possui uma inversa
se existe uma matriz tal que:
onde
é a matriz identidade. A matriz identidade não tem linhas de zeros; todas as suas linhas contêm exatamente um 1 em uma posição única e zeros nas demais posições.
Passo 6
Se uma matriz
tem uma linha de zeros, como mostramos, ao multiplicá-la por qualquer matriz
compatível, o produto
também terá uma linha de zeros. No entanto, para que
, o produto deveria resultar na matriz identidade, que não possui nenhuma linha de zeros. Isso gera uma contradição, já que não podemos obter uma matriz sem linhas de zeros a partir de uma matriz que possui uma linha de zeros.
Resposta
Portanto, uma matriz que possui uma linha de zeros não possui inversa.