Considere
. Para
, definamos:
Mostre que
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto dos números complexos, que são da forma
, onde
e
são números reais. A gente definiu duas operações: a soma de dois números complexos e a multiplicação de um número complexo por um escalar (um número real). O objetivo aqui é mostrar que esse conjunto
com essas operações forma um espaço vetorial real. Isso significa que
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial quando pensamos nos escalares como sendo números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Em álgebra linear, um espaço vetorial sobre um corpo
(no nosso caso,
) é um conjunto que, junto com duas operações (soma de vetores e multiplicação por escalar), satisfaz oito propriedades chamadas axiomas. Vamos verificar cada um deles para
.
Passo 3
Axioma 1: Fechamento da soma
Isso significa que se você pegar dois números complexos quaisquer e somar, o resultado também deve ser um número complexo.
Vamos ver:
Seja
e
, então
Como
e
são números reais,
também é da forma
, ou seja, está em
. Pronto, fechou a soma!
Passo 4
Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar
Aqui, precisamos mostrar que se multiplicarmos um número complexo por um número real, o resultado também é um número complexo.
Tomemos
e
. Então,
Novamente,
e
são reais, então
está em
. A multiplicação por escalar está fechada!
Passo 5
Axioma 3: Associatividade da soma
Isso quer dizer que, ao somar três números complexos, a ordem das somas não altera o resultado.
Sejam
, então
Vamos calcular:
E
Os dois resultados são iguais, então a associatividade da soma está confirmada!
Passo 6
Axioma 4: Elemento neutro da soma
Tem que existir um número complexo que, quando somado a qualquer outro, não muda o outro. Esse número é o zero complexo.
Vamos ver:
Seja
, então para qualquer
,
Funciona direitinho!
Passo 7
Axioma 5: Inverso aditivo
Cada número complexo deve ter um inverso que, quando somado a ele, resulta no zero complexo.
Dado
, seu inverso é
. Vamos conferir:
Pronto, cada número tem seu inverso!
Passo 8
Axioma 6: Comutatividade da soma
A ordem da soma não altera o resultado.
Para
,
Está tudo bem aqui!
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores
Isso significa que multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor e depois somar.
Para
e
,
E
Os dois lados são iguais, então a distributividade está validada!
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares
Aqui, multiplicar a soma de dois escalares por um vetor é o mesmo que multiplicar cada escalar pelo vetor e depois somar os resultados.
Para
e
,
E
Igualdade confirmada!
Passo 11
Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Multiplicar dois escalares seguidos por um vetor é o mesmo que multiplicar um escalar pela multiplicação do outro escalar e pelo vetor.
Para
e
,
E
Tudo certinho!
Passo 12
Axioma 10: Multiplicação por escalar 1
Multiplicar o vetor pelo número 1 deve retornar o próprio vetor.
Para
,
Funcionou!
Resposta
Como verificamos todos os axiomas necessários, podemos concluir que
com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.