Considere C=x+i y ; x, y in R. Para x1+i y1, x2+i y2 in C e alpha in R, definamos:
(x1+i y1) oplus(x2+i y2)=(x1+x2)+i(y1+y2) alpha odot(x1+i y1)=(alpha x1)+i(alpha y1)
Mostre que C é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem o conjunto dos números complexos, que são da forma , onde e são números reais. A gente definiu duas operações: a soma de dois números complexos e a multiplicação de um número complexo por um escalar (um número real). O objetivo aqui é mostrar que esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial real. Isso significa que satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial quando pensamos nos escalares como sendo números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Em álgebra linear, um espaço vetorial sobre um corpo (no nosso caso, ) é um conjunto que, junto com duas operações (soma de vetores e multiplicação por escalar), satisfaz oito propriedades chamadas axiomas. Vamos verificar cada um deles para .

Passo 3

Axioma 1: Fechamento da soma
Isso significa que se você pegar dois números complexos quaisquer e somar, o resultado também deve ser um número complexo.
Vamos ver:
Seja z1 oplus z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) e , então
Como e são números reais, também é da forma , ou seja, está em . Pronto, fechou a soma!

Passo 4

Axioma 2: Fechamento da multiplicação por escalar
Aqui, precisamos mostrar que se multiplicarmos um número complexo por um número real, o resultado também é um número complexo.
Tomemos alpha odot z = (alpha x) + i (alpha y) e . Então,
Novamente, e são reais, então está em . A multiplicação por escalar está fechada!

Passo 5

Axioma 3: Associatividade da soma
Isso quer dizer que, ao somar três números complexos, a ordem das somas não altera o resultado.
Sejam (z1 oplus z2) oplus z3 = z1 oplus (z2 oplus z3) , então
(z1 oplus z2) oplus z3 = [(x1 + x2) + i(y1 + y2)] oplus (x3 + i y3) = (x1 + x2 + x3) + i(y1 + y2 + y3)
Vamos calcular:
z1 oplus (z2 oplus z3) = (x1 + i y1) oplus [(x2 + x3) + i(y2 + y3)] = (x1 + x2 + x3) + i(y1 + y2 + y3)
E
Os dois resultados são iguais, então a associatividade da soma está confirmada!

Passo 6

Axioma 4: Elemento neutro da soma
Tem que existir um número complexo que, quando somado a qualquer outro, não muda o outro. Esse número é o zero complexo.
Vamos ver:
Seja z oplus 0 = (x + 0) + i(y + 0) = x + i y = z , então para qualquer ,
Funciona direitinho!

Passo 7

Axioma 5: Inverso aditivo
Cada número complexo deve ter um inverso que, quando somado a ele, resulta no zero complexo.
Dado z oplus (-z) = (x - x) + i(y - y) = 0 + i0 = 0 , seu inverso é . Vamos conferir:
Pronto, cada número tem seu inverso!

Passo 8

Axioma 6: Comutatividade da soma
A ordem da soma não altera o resultado.
Para z1 oplus z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x2 + x1) + i(y2 + y1) = z2 oplus z1 ,
Está tudo bem aqui!

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores
Isso significa que multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor e depois somar.
Para alpha odot (z1 oplus z2) = alpha odot [(x1 + x2) + i(y1 + y2)] = (alpha(x1 + x2)) + i(alpha(y1 + y2)) e alpha odot z1 oplus alpha odot z2 = [alpha x1 + i alpha y1] oplus [alpha x2 + i alpha y2] = (alpha x1 + alpha x2) + i(alpha y1 + alpha y2) ,
E
Os dois lados são iguais, então a distributividade está validada!

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares
Aqui, multiplicar a soma de dois escalares por um vetor é o mesmo que multiplicar cada escalar pelo vetor e depois somar os resultados.
Para (alpha + beta) odot z = [(alpha + beta)x] + i[(alpha + beta)y] = alpha x + beta x + i(alpha y + beta y) e alpha odot z oplus beta odot z = [alpha x + i alpha y] oplus [beta x + i beta y] = (alpha x + beta x) + i(alpha y + beta y) ,
E
Igualdade confirmada!

Passo 11

Axioma 9: Compatibilidade da multiplicação por escalares
Multiplicar dois escalares seguidos por um vetor é o mesmo que multiplicar um escalar pela multiplicação do outro escalar e pelo vetor.
Para alpha odot (beta odot z) = alpha odot [beta x + i beta y] = (alpha beta x) + i(alpha beta y) e (alpha beta) odot z = [(alpha beta) x] + i[(alpha beta) y] = (alpha beta x) + i(alpha beta y) ,
E
Tudo certinho!

Passo 12

Axioma 10: Multiplicação por escalar 1
Multiplicar o vetor pelo número 1 deve retornar o próprio vetor.
Para 1 odot z = (1 cdot x) + i(1 cdot y) = x + i y = z ,
Funcionou!

Resposta

Como verificamos todos os axiomas necessários, podemos concluir que com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial sobre os números reais.

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