Seja
. Mostre que
não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre
e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
d)
e
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente quer mostrar que o conjunto
não é um espaço vetorial quando a gente usa certos tipos de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar dos 8 axiomas que definem um espaço vetorial e verificar qual deles não está sendo satisfeito em cada caso.
a)
e
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se essa definição de adição e multiplicação por escalar respeita os axiomas de espaço vetorial.
Passo 3
Um dos axiomas é a existência de um elemento neutro para a adição, que seria o vetor zero
. Se somarmos
com qualquer vetor
, temos:
Então, o elemento neutro existe.
Passo 4
Vamos olhar para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
Por outro lado:
Isso satisfaz a distributividade.
Passo 5
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação de escalares:
E:
Está tudo certo aqui.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a multiplicação por 1 funciona corretamente:
Então, esse axioma também é satisfeito.
Passo 7
Vamos olhar para a associatividade da adição:
E:
Associatividade confirmada.
Passo 8
Vamos verificar a comutatividade da adição:
Comutatividade está ok.
Passo 9
Agora, vamos checar a existência de um inverso aditivo. Para qualquer
, o inverso seria
:
Inverso aditivo existe.
Passo 10
Por último, vamos conferir a distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
E:
Aqui percebemos um problema:
está igual, mas
deveria ser apenas
para seguir o axioma.
Passo 11
Então, o axioma que não está sendo satisfeito é a distribuição da multiplicação por escalares em relação à soma de escalares.
Passo 12
Vamos para o próximo item.
b)
e
Passo 13
Aqui, a adição está definida de uma forma bem diferente:
. Vamos ver se isso satisfaz os axiomas.
Passo 14
Primeiro, o elemento neutro para a adição deveria ser
. Vamos testar:
Mas queremos que isso seja igual a
, então
só se
, o que nem sempre é verdade.
Passo 15
Portanto, o axioma da existência do elemento neutro para a adição não está sendo satisfeito.
Passo 16
Além disso, vamos verificar a adição ser comutativa:
E:
Isso só é igual se
e
, o que nem sempre ocorre.
Passo 17
Então, o axioma da comutatividade da adição também não é satisfeito.
Passo 18
Vamos para o próximo item.
c)
e
Passo 19
Aqui, a adição é a usual, mas a multiplicação por escalar muda bastante:
. Vamos ver quais axiomas podem falhar.
Passo 20
Primeiro, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares:
E:
Isso está ok.
Passo 21
Agora, a distribuição da multiplicação por escalares em relação à adição vetorial:
E:
Está tudo certo aqui.
Passo 22
Vamos verificar agora a distribuição da multiplicação por escalares em relação à soma de escalares:
E:
Também está funcionando.
Passo 23
Agora, vamos ver o axioma que a multiplicação por 1 não altera o vetor:
Mas queremos que isso seja igual a
, o que só ocorre se
. Caso contrário, não está satisfazendo o axioma.
Passo 24
Portanto, o axioma de que
não é satisfeito, a menos que
para todos os vetores, o que não é o caso.
Passo 25
Vamos para o último item.
d)
e
Passo 26
Aqui, tanto a adição quanto a multiplicação por escalar são definidas de forma bem diferente. Vamos verificar os axiomas.
Passo 27
Primeiro, o elemento neutro para a adição deveria satisfazer:
Isso nos dá:
Essas equações não têm solução única para
e
, então o elemento neutro não existe.
Passo 28
Além disso, vamos checar a comutatividade da adição:
E:
Embora pareça igual, a falta do elemento neutro já quebra o axioma.
Passo 29
Também, se tentarmos verificar a associatividade:
E:
As duas expressões não são iguais, então a associatividade também falha.
Passo 30
Pronto, analisamos todos os casos.
Resposta
Em todos os casos a), b), c) e d), o conjunto
não é um espaço vetorial porque, para cada par de operações, pelo menos um dos axiomas essenciais dos espaços vetoriais não é satisfeito.