Seja V=R^2. Mostre que V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos seguintes pares de operações sobre V e diga em cada caso, quais dos 8 axiomas não se verificam:
a) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e alpha(x1, y1)=(x1, alpha y1).
b) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y2) e alpha(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1).
c) (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e alpha(x1, y1)=(alpha x1, 0).
d) (x1, y1)+(x2, y2)=(3 y1+3 y2,-x1-x2) e alpha(x1, y1)=(3 alpha y1,-alpha x1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente quer mostrar que o conjunto não é um espaço vetorial quando a gente usa certos tipos de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar lembrar dos 8 axiomas que definem um espaço vetorial e verificar qual deles não está sendo satisfeito em cada caso.

a) e

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se essa definição de adição e multiplicação por escalar respeita os axiomas de espaço vetorial.

Passo 3

Um dos axiomas é a existência de um elemento neutro para a adição, que seria o vetor zero (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) . Se somarmos com qualquer vetor , temos:
Então, o elemento neutro existe.

Passo 4

Vamos olhar para a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:
alpha [(x1, y1) + (x2, y2)] = alpha (x1 + x2, y1 + y2) = (alpha (x1 + x2), alpha (y1 + y2))
Por outro lado:
alpha (x1, y1) + alpha (x2, y2) = (x1, alpha y1) + (x2, alpha y2) = (x1 + x2, alpha y1 + alpha y2)
Isso satisfaz a distributividade.

Passo 5

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação de escalares:
alpha (beta (x, y)) = alpha (x, beta y) = (x, alpha beta y)
E:
(alpha beta) (x, y) = (x, alpha beta y)
Está tudo certo aqui.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a multiplicação por 1 funciona corretamente:
1 cdot (x, y) = (x, 1 cdot y) = (x, y)
Então, esse axioma também é satisfeito.

Passo 7

Vamos olhar para a associatividade da adição:
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (x1 + x2, y1 + y2) + (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
E:
(x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Associatividade confirmada.

Passo 8

Vamos verificar a comutatividade da adição:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1)
Comutatividade está ok.

Passo 9

Agora, vamos checar a existência de um inverso aditivo. Para qualquer (x, y) + (-x, -y) = (x - x, y - y) = (0, 0) , o inverso seria :
Inverso aditivo existe.

Passo 10

Por último, vamos conferir a distribuição da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(alpha + beta)(x, y) = (x, (alpha + beta) y) = (alpha x + beta x, (alpha + beta) y)
E:
alpha(x, y) + beta(x, y) = (x, alpha y) + (x, beta y) = (x + x, alpha y + beta y) = (2x, (alpha + beta)y)
Aqui percebemos um problema: está igual, mas deveria ser apenas para seguir o axioma.

Passo 11

Então, o axioma que não está sendo satisfeito é a distribuição da multiplicação por escalares em relação à soma de escalares.

Passo 12

Vamos para o próximo item.

b) e

Passo 13

Aqui, a adição está definida de uma forma bem diferente: . Vamos ver se isso satisfaz os axiomas.

Passo 14

Primeiro, o elemento neutro para a adição deveria ser (x, y) + (0, 0) = (x, 0) . Vamos testar:
Mas queremos que isso seja igual a , então só se , o que nem sempre é verdade.

Passo 15

Portanto, o axioma da existência do elemento neutro para a adição não está sendo satisfeito.

Passo 16

Além disso, vamos verificar a adição ser comutativa:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y2)
E:
(x2, y2) + (x1, y1) = (x2, y1)
Isso só é igual se e , o que nem sempre ocorre.

Passo 17

Então, o axioma da comutatividade da adição também não é satisfeito.

Passo 18

Vamos para o próximo item.

c) e

Passo 19

Aqui, a adição é a usual, mas a multiplicação por escalar muda bastante: . Vamos ver quais axiomas podem falhar.

Passo 20

Primeiro, vamos checar a compatibilidade da multiplicação por escalares:
alpha (beta (x, y)) = alpha (beta x, 0) = (alpha beta x, 0)
E:
(alpha beta)(x, y) = (alpha beta x, 0)
Isso está ok.

Passo 21

Agora, a distribuição da multiplicação por escalares em relação à adição vetorial:
alpha [(x1, y1) + (x2, y2)] = alpha (x1 + x2, y1 + y2) = (alpha (x1 + x2), 0)
E:
alpha (x1, y1) + alpha (x2, y2) = (alpha x1, 0) + (alpha x2, 0) = (alpha x1 + alpha x2, 0 + 0) = (alpha x1 + alpha x2, 0)
Está tudo certo aqui.

Passo 22

Vamos verificar agora a distribuição da multiplicação por escalares em relação à soma de escalares:
(alpha + beta)(x, y) = ((alpha + beta)x, 0)
E:
alpha (x, y) + beta (x, y) = (alpha x, 0) + (beta x, 0) = (alpha x + beta x, 0 + 0) = ((alpha + beta)x, 0)
Também está funcionando.

Passo 23

Agora, vamos ver o axioma que a multiplicação por 1 não altera o vetor:
1 cdot (x, y) = (1 cdot x, 0) = (x, 0)
Mas queremos que isso seja igual a , o que só ocorre se . Caso contrário, não está satisfazendo o axioma.

Passo 24

Portanto, o axioma de que não é satisfeito, a menos que para todos os vetores, o que não é o caso.

Passo 25

Vamos para o último item.

d) e

Passo 26

Aqui, tanto a adição quanto a multiplicação por escalar são definidas de forma bem diferente. Vamos verificar os axiomas.

Passo 27

Primeiro, o elemento neutro para a adição deveria satisfazer:
(x, y) + (e1, e2) = (3e1 + 3y, -x - e2) = (x, y)
Isso nos dá:
3 e1 + 3 y = x e -x - e2 = y
Essas equações não têm solução única para e , então o elemento neutro não existe.

Passo 28

Além disso, vamos checar a comutatividade da adição:
(x1, y1) + (x2, y2) = (3 y1 + 3 y2, -x1 - x2)
E:
(x2, y2) + (x1, y1) = (3 y2 + 3 y1, -x2 - x1)
Embora pareça igual, a falta do elemento neutro já quebra o axioma.

Passo 29

Também, se tentarmos verificar a associatividade:
[(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) = (3 y1 + 3 y2, -x1 - x2) + (x3, y3) = (3(-x1 - x2) + 3 y3, - (3 y1 + 3 y2) - x3)
E:
(x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = (x1, y1) + (3 y2 + 3 y3, -x2 - x3) = (3 y1 + 3 y2 + 3 y3, -x1 - (-x2 - x3))
As duas expressões não são iguais, então a associatividade também falha.

Passo 30

Pronto, analisamos todos os casos.

Resposta

Em todos os casos a), b), c) e d), o conjunto não é um espaço vetorial porque, para cada par de operações, pelo menos um dos axiomas essenciais dos espaços vetoriais não é satisfeito.

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