Mostre que os vetores que são c.l. de e são da forma . Para cada um desses vetores , de quantas maneiras pode-se escrever essa c.l.?
Sugestão: Escreva e mostre que o sistema gerado por só tem solução quando . Há infinitas c.l.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores que são combinações lineares dos vetores , e têm a forma . Além disso, queremos saber de quantas maneiras podemos expressar cada um desses vetores como combinação linear desses três vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever um vetor genérico como e igualar a combinação linear dos três vetores dados:
Isso fica:
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para ver quando existem soluções para ell, m e n. Primeiro, da primeira equação, podemos expressar m em termos de ell e n:
m = x - 2ell - 4n
Substituindo esse valor de m na segunda equação:
-6ell - 3(x - 2ell - 4n) - n = y
Simplificando:
-6ell - 3x + 6ell + 12n - n = y -3x + 11n = y 11n = y + 3x n = y + 3x11
Passo 5
Agora, substituímos m e n na terceira equação:
8ell + 4(x - 2ell - 4n) + 5n = z
Simplificando:
8ell + 4x - 8ell - 16n + 5n = z 4x - 11n = z 4x - 11(y + 3x11) = z 4x - y - 3x = z x - y = z
Passo 6
Então, para que o sistema tenha solução, precisamos que z = x - y. Isso significa que qualquer vetor w = (x, y, z) que seja uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 deve satisfazer z = x - y. Portanto, os vetores que são combinações lineares desses três vetores têm a forma w = (x, y, x - y).
Passo 7
Agora, para cada vetor w = (x, y, x - y), podemos escolher valores para ell e n livremente, e então determinar m a partir de m = x - 2ell - 4n. Como temos duas variáveis livres (ell e n), existem infinitas maneiras de escrever cada vetor w como uma combinação linear dos vetores dados.
Resposta
Os vetores que são combinações lineares de v1, v2 e v3 têm a forma w = (x, y, x - y). Para cada vetor w desse tipo, existem infinitas maneiras de escrevê-lo como combinação linear desses três vetores.