Mostre que os vetores que são c.l. de v1=(2,-6,8), v2=(1,-3,4) e v3=(4,-1,5) são da forma w=(x, y, x-y). Para cada um desses vetores w, de quantas maneiras pode-se escrever essa c.l.?
Sugestão: Escreva w=(x, y, z) e mostre que o sistema gerado por w=ell v1+m v2+ n v3 só tem solução quando z=x-y. Há infinitas c.l.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores que são combinações lineares dos vetores v1=(2,-6,8), v2=(1,-3,4) e v3=(4,-1,5) têm a forma w=(x, y, x-y). Além disso, queremos saber de quantas maneiras podemos expressar cada um desses vetores w como combinação linear desses três vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever um vetor genérico w como w = (x, y, z) e igualar a combinação linear dos três vetores dados:
w = ell v1 + m v2 + n v3
Isso fica:
(x, y, z) = ell (2, -6, 8) + m (1, -3, 4) + n (4, -1, 5)

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
(x, y, z) = (2ell + m + 4n, -6ell - 3m - n, 8ell + 4m + 5n)
Isso nos dá um sistema de equações:
2ell + m + 4n = x -6ell - 3m - n = y 8ell + 4m + 5n = z

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para ver quando existem soluções para ell, m e n. Primeiro, da primeira equação, podemos expressar m em termos de ell e n:
m = x - 2ell - 4n
Substituindo esse valor de m na segunda equação:
-6ell - 3(x - 2ell - 4n) - n = y
Simplificando:
-6ell - 3x + 6ell + 12n - n = y -3x + 11n = y 11n = y + 3x n = y + 3x11

Passo 5

Agora, substituímos m e n na terceira equação:
8ell + 4(x - 2ell - 4n) + 5n = z
Simplificando:
8ell + 4x - 8ell - 16n + 5n = z 4x - 11n = z 4x - 11(y + 3x11) = z 4x - y - 3x = z x - y = z

Passo 6

Então, para que o sistema tenha solução, precisamos que z = x - y. Isso significa que qualquer vetor w = (x, y, z) que seja uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 deve satisfazer z = x - y. Portanto, os vetores que são combinações lineares desses três vetores têm a forma w = (x, y, x - y).

Passo 7

Agora, para cada vetor w = (x, y, x - y), podemos escolher valores para ell e n livremente, e então determinar m a partir de m = x - 2ell - 4n. Como temos duas variáveis livres ( ell e n), existem infinitas maneiras de escrever cada vetor w como uma combinação linear dos vetores dados.

Resposta

Os vetores que são combinações lineares de v1, v2 e v3 têm a forma w = (x, y, x - y). Para cada vetor w desse tipo, existem infinitas maneiras de escrevê-lo como combinação linear desses três vetores.

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