Sejam os vetores e . Justifique que os vetores coplanares com são da forma , com , usando o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que qualquer vetor que seja coplanar com os vetores e pode ser escrito na forma , onde e são números reais. Para isso, vamos usar o Método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos precisar entender como combinar os vetores e para chegar na forma desejada para .
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa um vetor ser coplanar com e . Significa que podemos escrever como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, existe um número e um número tais que:
Isso significa que cada componente de é uma combinação das componentes de e .
Passo 3
Vamos substituir os valores de , e na equação acima:
Agora, vamos distribuir os e nos vetores:
Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 4
Agora, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada para aplicar o Método de Gauss-Jordan:
1 & -1 & | & a 2 & 3 & | & b 3 & 2 & | & a + b
O objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida para encontrar os valores de x e y em termos de a e b.
Passo 5
Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (número 1 na primeira linha e primeira coluna):
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 3 & 2 & | & a + b
Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 5 & | & a + b - 3a
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 5 & | & -2a + b
Passo 6
Agora, vamos eliminar o segundo pivô:
Subtrair a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 0 & | & 0
Isso nos mostra que o sistema é consistente e que há infinitas soluções, o que confirma que w é coplanar com u e v.
Passo 7
Agora, vamos resolver para x e y usando as duas primeiras equações:
a = x - y b = 2x + 3y
Podemos resolver a primeira equação para x:
x = a + y
Substituindo isso na segunda equação:
b = 2(a + y) + 3y = 2a + 2y + 3y = 2a + 5y
Agora, resolvemos para y:
5y = b - 2a implies y = b - 2a5
E substituímos y de volta na expressão para x:
x = a + b - 2a5 = 5a + b - 2a5 = 3a + b5
Passo 8
Agora que temos x e y em termos de a e b, podemos escrever w:
w = xu + yv = 3a + b5(1,2,3) + b - 2a5(-1,3,2)
Vamos calcular cada componente:
Componente x:
3a + b5 cdot 1 + b - 2a5 cdot (-1) = 3a + b - b + 2a5 = 5a5 = a