Sejam os vetores u=(1,2,3) e v=(-1,3,2). Justifique que os vetores coplanares com u e v são da forma w=(a, b, a+b), com a, b in R, usando o Método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que qualquer vetor que seja coplanar com os vetores u = (1,2,3) e v = (-1,3,2) pode ser escrito na forma w = (a, b, a+b), onde a e b são números reais. Para isso, vamos usar o Método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos precisar entender como combinar os vetores u e v para chegar na forma desejada para w.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa um vetor ser coplanar com u e v. Significa que podemos escrever w como uma combinação linear desses dois vetores. Ou seja, existe um número x e um número y tais que:
w = xu + yv
Isso significa que cada componente de w é uma combinação das componentes de u e v.

Passo 3

Vamos substituir os valores de u, v e w na equação acima:
(a, b, a+b) = x(1,2,3) + y(-1,3,2)
Agora, vamos distribuir os x e y nos vetores:
(a, b, a+b) = (x cdot 1 + y cdot (-1), ; x cdot 2 + y cdot 3, ; x cdot 3 + y cdot 2)
Isso nos dá um sistema de três equações:
a = x - y b = 2x + 3y a + b = 3x + 2y

Passo 4

Agora, vamos organizar esse sistema em uma matriz aumentada para aplicar o Método de Gauss-Jordan:
1 & -1 & | & a 2 & 3 & | & b 3 & 2 & | & a + b
O objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida para encontrar os valores de x e y em termos de a e b.

Passo 5

Vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (número 1 na primeira linha e primeira coluna):
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 3 & 2 & | & a + b
  1. Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 5 & | & a + b - 3a
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 5 & | & -2a + b

Passo 6

Agora, vamos eliminar o segundo pivô:
Subtrair a segunda linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
1 & -1 & | & a 0 & 5 & | & b - 2a 0 & 0 & | & 0
Isso nos mostra que o sistema é consistente e que há infinitas soluções, o que confirma que w é coplanar com u e v.

Passo 7

Agora, vamos resolver para x e y usando as duas primeiras equações:
a = x - y b = 2x + 3y
Podemos resolver a primeira equação para x:
x = a + y
Substituindo isso na segunda equação:
b = 2(a + y) + 3y = 2a + 2y + 3y = 2a + 5y
Agora, resolvemos para y:
5y = b - 2a implies y = b - 2a5
E substituímos y de volta na expressão para x:
x = a + b - 2a5 = 5a + b - 2a5 = 3a + b5

Passo 8

Agora que temos x e y em termos de a e b, podemos escrever w:
w = xu + yv = 3a + b5(1,2,3) + b - 2a5(-1,3,2)
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente x:
3a + b5 cdot 1 + b - 2a5 cdot (-1) = 3a + b - b + 2a5 = 5a5 = a
  1. Componente y:
3a + b5 cdot 2 + b - 2a5 cdot 3 = 6a + 2b + 3b - 6a5 = 5b5 = b
  1. Componente z:
3a + b5 cdot 3 + b - 2a5 cdot 2 = 9a + 3b + 2b - 4a5 = 5a + 5b5 = a + b

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer vetor coplanar com u e v pode ser escrito como w = (a, b, a + b), onde a e b são números reais.

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