Demonstre o teorema trabalho-energia. Demonstre o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. E se houvessem forças não conservativas como ficaria o princípio de conservação de energia mecânica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente demonstrar o teorema trabalho-energia e o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. Além disso, vamos ver o que acontece quando temos forças não conservativas atuando. Para isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho, energia cinética, energia potencial e o que são forças conservativas e não conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre trabalho. O trabalho ( ) feito por uma força é definido como o produto da força ( ) pelo deslocamento ( ) na direção da força. Matematicamente, isso é representado por:
Esse integral calcula o trabalho total quando a força pode variar ao longo do deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos conectar trabalho com energia cinética. A energia cinética ( ) de um objeto é dada por:
onde é a massa e é a velocidade do objeto. O teorema trabalho-energia nos diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Ou seja:
Isso significa que se fizermos trabalho positivo sobre um objeto, sua energia cinética aumenta, e se for trabalho negativo, ela diminui.

Passo 4

Vamos agora demonstrar o teorema trabalho-energia. Começamos com a segunda lei de Newton:
Multiplicando ambos os lados pelo deslocamento e integrando:
Sabemos que e , então podemos substituir:
Integrando isso, obtemos:
Portanto, provamos que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre forças conservativas. São aquelas forças pelas quais o trabalho realizado não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final. Exemplos clássicos são a força da gravidade e a força elástica de uma mola.
Para essas forças, podemos definir uma energia potencial ( ), de tal forma que:

Passo 6

Com isso, vamos demonstrar o princípio da conservação da energia mecânica. Se considerarmos apenas forças conservativas atuando, o trabalho total realizado é:
Aplicando o teorema trabalho-energia:
Ou seja:
Isso mostra que a energia mecânica total ( ) permanece constante quando apenas forças conservativas atuam.

Passo 7

Por fim, vamos considerar forças não conservativas, como o atrito. Essas forças dependem do caminho e dissipam energia, geralmente na forma de calor. O trabalho realizado por essas forças ( ã) não pode ser expressado como variação de energia potencial.
Então, aplicando o teorema trabalho-energia:
ãã
Rearranjando:
ã
Isso significa que, quando há forças não conservativas atuando, a energia mecânica não é mais conservada. Ou seja, a energia mecânica total muda conforme o trabalho realizado por essas forças.

Resposta

Demonstramos que o teorema trabalho-energia estabelece que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Para forças conservativas, podemos definir uma energia potencial que, combinada com a energia cinética, mantém a energia mecânica total constante, ou seja, a energia mecânica é conservada. Porém, quando atuam forças não conservativas, o trabalho realizado por elas altera a energia mecânica total, fazendo com que ela não seja mais conservada.

Exercícios relacionados

Em um experimento, a pressão em um vaso sanguíneo é medida em dois pontos: ponto A (antes de uma constrição) e ponto B (após a constrição). Se a velocidade do sangue no ponto A é de e no ponto B é de 1,2 , calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B.
Um corpo, ao ser pesado sob a água, pesa 200 N . Seu peso normal é 300 N . Determine a densidade e o volume do corpo.
Em um sistema de drenagem agrícola, a água flui através de um tubo horizontal com uma velocidade de . Se a pressão no início do tubo é de 100 kPa e a pressão no final do tubo é de 95 kPa , calcule a velocidade da água no final do tubo. Considere a densidade da água como .
Considere uma caçamba aberta sobre uma esteira em movimento horizontal para direita com velocidade a massa inicial e velocidade inicial. Sendo que a medida que a caçamba avança a chuva vertical a atinge fazendo a sua massa aumentar à razão . Encontre a relação para o movimento da caçamba na chuva.