Demonstre o teorema trabalho-energia. Demonstre o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. E se houvessem forças não conservativas como ficaria o princípio de conservação de energia mecânica?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente demonstrar o teorema trabalho-energia e o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. Além disso, vamos ver o que acontece quando temos forças não conservativas atuando. Para isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho, energia cinética, energia potencial e o que são forças conservativas e não conservativas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre trabalho. O trabalho (
) feito por uma força é definido como o produto da força (
) pelo deslocamento (
) na direção da força. Matematicamente, isso é representado por:
Esse integral calcula o trabalho total quando a força pode variar ao longo do deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos conectar trabalho com energia cinética. A energia cinética (
) de um objeto é dada por:
onde
é a massa e
é a velocidade do objeto. O teorema trabalho-energia nos diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Ou seja:
Isso significa que se fizermos trabalho positivo sobre um objeto, sua energia cinética aumenta, e se for trabalho negativo, ela diminui.
Passo 4
Vamos agora demonstrar o teorema trabalho-energia. Começamos com a segunda lei de Newton:
Multiplicando ambos os lados pelo deslocamento
e integrando:
Sabemos que
e
, então podemos substituir:
Integrando isso, obtemos:
Portanto, provamos que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre forças conservativas. São aquelas forças pelas quais o trabalho realizado não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final. Exemplos clássicos são a força da gravidade e a força elástica de uma mola.
Para essas forças, podemos definir uma energia potencial (
), de tal forma que:
Passo 6
Com isso, vamos demonstrar o princípio da conservação da energia mecânica. Se considerarmos apenas forças conservativas atuando, o trabalho total realizado é:
Aplicando o teorema trabalho-energia:
Ou seja:
Isso mostra que a energia mecânica total (
) permanece constante quando apenas forças conservativas atuam.
Passo 7
Por fim, vamos considerar forças não conservativas, como o atrito. Essas forças dependem do caminho e dissipam energia, geralmente na forma de calor. O trabalho realizado por essas forças (
) não pode ser expressado como variação de energia potencial.
Então, aplicando o teorema trabalho-energia:
Rearranjando:
Isso significa que, quando há forças não conservativas atuando, a energia mecânica não é mais conservada. Ou seja, a energia mecânica total muda conforme o trabalho realizado por essas forças.
Resposta
Demonstramos que o teorema trabalho-energia estabelece que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Para forças conservativas, podemos definir uma energia potencial que, combinada com a energia cinética, mantém a energia mecânica total constante, ou seja, a energia mecânica é conservada. Porém, quando atuam forças não conservativas, o trabalho realizado por elas altera a energia mecânica total, fazendo com que ela não seja mais conservada.