Demonstre o teorema trabalho-energia. Demonstre o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. E se houvessem forças não conservativas como ficaria o princípio de conservação de energia mecânica?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente demonstrar o teorema trabalho-energia e o princípio da conservação da energia mecânica para forças conservativas. Além disso, vamos ver o que acontece quando temos forças não conservativas atuando. Para isso, vamos precisar entender conceitos como trabalho, energia cinética, energia potencial e o que são forças conservativas e não conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre trabalho. O trabalho ( W) feito por uma força é definido como o produto da força ( F) pelo deslocamento ( s) na direção da força. Matematicamente, isso é representado por:
W = integral F cdot ds
Esse integral calcula o trabalho total quando a força pode variar ao longo do deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos conectar trabalho com energia cinética. A energia cinética ( K) de um objeto é dada por:
K = 12mv^2
onde m é a massa e v é a velocidade do objeto. O teorema trabalho-energia nos diz que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Ou seja:
W = De
Isso significa que se fizermos trabalho positivo sobre um objeto, sua energia cinética aumenta, e se for trabalho negativo, ela diminui.

Passo 4

Vamos agora demonstrar o teorema trabalho-energia. Começamos com a segunda lei de Newton:
F = ma
Multiplicando ambos os lados pelo deslocamento ds e integrando:
integral F cdot ds = m integral a cdot ds
Sabemos que a = dvdt e ds = vdt, então podemos substituir:
W = m integral dvdt cdot v dt = m integral v cdot dv
Integrando isso, obtemos:
W = 12mvf^2 - 12mvi^2 = De
Portanto, provamos que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre forças conservativas. São aquelas forças pelas quais o trabalho realizado não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final. Exemplos clássicos são a força da gravidade e a força elástica de uma mola.
Para essas forças, podemos definir uma energia potencial ( U), de tal forma que:
Wconservativa = -De

Passo 6

Com isso, vamos demonstrar o princípio da conservação da energia mecânica. Se considerarmos apenas forças conservativas atuando, o trabalho total realizado é:
Wtotal = Wconservativa = -De
Aplicando o teorema trabalho-energia:
-De
Ou seja:
De
Isso mostra que a energia mecânica total ( E = K + U) permanece constante quando apenas forças conservativas atuam.

Passo 7

Por fim, vamos considerar forças não conservativas, como o atrito. Essas forças dependem do caminho e dissipam energia, geralmente na forma de calor. O trabalho realizado por essas forças ( Wnão conservativaã) não pode ser expressado como variação de energia potencial.
Então, aplicando o teorema trabalho-energia:
Wtotal = Wconservativa + Wnão conservativa = -Deãã
Rearranjando:
Deã
Isso significa que, quando há forças não conservativas atuando, a energia mecânica não é mais conservada. Ou seja, a energia mecânica total muda conforme o trabalho realizado por essas forças.

Resposta

Demonstramos que o teorema trabalho-energia estabelece que o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Para forças conservativas, podemos definir uma energia potencial que, combinada com a energia cinética, mantém a energia mecânica total constante, ou seja, a energia mecânica é conservada. Porém, quando atuam forças não conservativas, o trabalho realizado por elas altera a energia mecânica total, fazendo com que ela não seja mais conservada.

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