Considere uma caixa de formato de um cilindro reto, com tampa, com raio da base 2 cm e altura
. O custo do material usado para a sua confecção é de
por cm²
. Se o raio e a altura sofrerem um acréscimo de
e
respectivamente, qual o acrescimo no custo da caixa, e o valor desse acréscimo?
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma caixa em forma de cilindro com raio da base de 2 cm e altura de 5 cm. O custo do material é de R$ 0,81 por cm². Queremos descobrir quanto o custo da caixa aumenta quando o raio aumenta 1% e a altura aumenta 2%. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área superficial do cilindro antes e depois dos aumentos e, em seguida, calcular o aumento no custo baseado nessas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área superficial original do cilindro. A fórmula para a área superficial
de um cilindro é:
Onde:
-
é o raio da base. -
é a altura.
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as novas dimensões após os aumentos:
- O raio aumenta 1%, então o novo raio
é:
- A altura aumenta 2%, então a nova altura
é:
Passo 4
Com as novas dimensões, vamos calcular a nova área superficial
:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Somando as duas partes:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o aumento na área superficial:
Para calcular o percentual de aumento:
Passo 6
Como o custo é proporcional à área superficial, o aumento no custo também será de aproximadamente 2,73%. Agora, vamos calcular o valor desse aumento:
Substituindo os valores:
Resposta
O custo da caixa aumenta aproximadamente 2,73%, correspondendo a um acréscimo de R$ 1,95.