Considere uma caixa de formato de um cilindro reto, com tampa, com raio da base 2 cm e altura h = 5 cm. O custo do material usado para a sua confecção é de R por cm² por cm². Se o raio e a altura sofrerem um acréscimo de Se o raio e a altura sofrerem um acréscimo de e e respectivamente, qual o acrescimo no custo da caixa, e o valor desse acréscimo?

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma caixa em forma de cilindro com raio da base de 2 cm e altura de 5 cm. O custo do material é de R$ 0,81 por cm². Queremos descobrir quanto o custo da caixa aumenta quando o raio aumenta 1% e a altura aumenta 2%. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área superficial do cilindro antes e depois dos aumentos e, em seguida, calcular o aumento no custo baseado nessas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial original do cilindro. A fórmula para a área superficial de um cilindro é:
Onde:
  • é o raio da base.
  • é a altura.
Substituindo os valores fornecidos:
²

Passo 3

Agora, vamos calcular as novas dimensões após os aumentos:
  • O raio aumenta 1%, então o novo raio é:
  • A altura aumenta 2%, então a nova altura é:

Passo 4

Com as novas dimensões, vamos calcular a nova área superficial :
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Somando as duas partes:
²

Passo 5

Agora, vamos encontrar o aumento na área superficial:
²
Para calcular o percentual de aumento:

Passo 6

Como o custo é proporcional à área superficial, o aumento no custo também será de aproximadamente 2,73%. Agora, vamos calcular o valor desse aumento:
²
Substituindo os valores:

Resposta

O custo da caixa aumenta aproximadamente 2,73%, correspondendo a um acréscimo de R$ 1,95.

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