Considere uma caixa, com tampa, com formato cilíndrico, com raio da base medindo 2 cm e altura medindo 5 cm . O custo do material usado em sua confecção é de
por
. Se as dimensões sofrerem um acréscimo de
no raio e
na altura, pergunta-se: Qual o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma caixa cilíndrica com tampa, onde o raio da base é 2 cm e a altura é 5 cm. O custo do material utilizado para fazer a caixa é de R$ 0,81 por cm². As dimensões da caixa vão aumentar: o raio vai aumentar 10% e a altura vai aumentar 2%. Precisamos descobrir quanto o custo da caixa vai aumentar com essas mudanças.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos cilindros, especificamente como calcular a área da superfície e depois como as mudanças nas dimensões afetam essa área e, consequentemente, o custo.
Passo 2
Vamos começar calculando a área da superfície da caixa original. Como a caixa tem tampa, ela possui duas bases (uma na parte de baixo e outra na tampa) e uma área lateral.
A fórmula para a área total de um cilindro com tampa é:
onde:
-
é o raio da base -
é a altura do cilindro
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos no enunciado:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo inicial da caixa. Sabemos que o custo por cm² é de R$ 0,81.
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular como a área muda quando o raio aumenta 10% e a altura aumenta 2%.
Primeiro, calculamos os novos valores do raio e da altura:
Passo 6
Com os novos valores, calculamos a nova área da superfície:
Passo 7
Agora, calculamos o novo custo da caixa:
Passo 8
Finalmente, para encontrar o aumento no custo, subtraímos o custo inicial do novo custo:
Resposta
O acréscimo aproximado no custo da caixa é de R$ 10,28.