Determine, caso existam, os seguintes limites: (0,5) lim (x, y) (0,0) 3 x y^2x^2+2 y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos simples, como 3x(0)^2x^2+2(0)^4 = 0x^2 = 0 e 3(0)y^2(0)^2+2y^4 = 02y^4 = 0 .
  • Caso :
    Substituindo na função temos:
    Então, o limite é 0.
  • Caso :
    Substituindo na função:
    Novamente, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos testar outros caminhos para ver se o limite é consistente. Vamos tentar o caminho 3x(x^1/2)^2x^2 + 2(x^1/2)^4 = 3x cdot xx^2 + 2x^2 = 3x^23x^2 = 1 , onde é uma constante e é um expoente que escolheremos.
Vamos supor (ou seja, ):
Substituindo na função:
Nesse caso, o limite é 1.

Passo 4

Observamos que, dependendo do caminho escolhido, o limite pode ser 0 ou 1. Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual se aproxima de . Se diferentes caminhos resultam em valores de limite distintos, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, o limite não existe.

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