Determine, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos simples, como
e
.
-
Caso
:
Substituindona função temos: Então, o limite é 0. -
Caso
:
Substituindona função: Novamente, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos testar outros caminhos para ver se o limite é consistente. Vamos tentar o caminho
, onde
é uma constante e
é um expoente que escolheremos.
Vamos supor
(ou seja,
):
Substituindo na função:
Nesse caso, o limite é 1.
Passo 4
Observamos que, dependendo do caminho escolhido, o limite pode ser 0 ou 1. Isso significa que o limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
. Se diferentes caminhos resultam em valores de limite distintos, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.