Encontre os valores máximo e mínimo da função f(x, y) = 3x + 4y no circunferência x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função na circunferência definida por . Isso tudo está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente otimização com restrições. Para resolver, vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções sujeitas a certas condições, que nesse caso é a equação da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso significa que qualquer ponto que satisfaça essa equação está sobre essa circunferência.

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos nessa circunferência que tornam a função o maior e o menor possível. Para isso, uma maneira fácil é usar uma parametrização trigonométrica da circunferência.

Passo 4

Vamos parametrizar a circunferência usando ângulos: qualquer ponto na circunferência pode ser escrito como e , onde é o ângulo em radianos.

Passo 5

Substituindo e na função , temos:
Agora, precisamos encontrar os valores máximo e mínimo dessa nova função no intervalo de de 0 a .

Passo 6

Para simplificar , podemos usar a identidade trigonométrica que combina seno e cosseno:
onde é um ângulo tal que e .

Passo 7

Aplicando isso na nossa função:
porque . Isso simplifica a busca pelo máximo e mínimo, já que a função seno varia entre -1 e 1.

Passo 8

Portanto, o valor máximo de é (quando ) e o valor mínimo é (quando ).

Resposta

Os valores máximo e mínimo da função na circunferência são, respectivamente, 5 e -5.

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