Encontre os valores máximo e mínimo da função
no circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os valores máximo e mínimo da função
na circunferência definida por
. Isso tudo está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente otimização com restrições. Para resolver, vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções sujeitas a certas condições, que nesse caso é a equação da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação
representa uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Isso significa que qualquer ponto
que satisfaça essa equação está sobre essa circunferência.
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos nessa circunferência que tornam a função
o maior e o menor possível. Para isso, uma maneira fácil é usar uma parametrização trigonométrica da circunferência.
Passo 4
Vamos parametrizar a circunferência usando ângulos: qualquer ponto na circunferência pode ser escrito como
e
, onde
é o ângulo em radianos.
Passo 5
Substituindo
e
na função
, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores máximo e mínimo dessa nova função
no intervalo de
de 0 a
.
Passo 6
Para simplificar
, podemos usar a identidade trigonométrica que combina seno e cosseno:
onde
é um ângulo tal que
e
.
Passo 7
Aplicando isso na nossa função:
porque
. Isso simplifica a busca pelo máximo e mínimo, já que a função seno varia entre -1 e 1.
Passo 8
Portanto, o valor máximo de
é
(quando
) e o valor mínimo é
(quando
).
Resposta
Os valores máximo e mínimo da função
na circunferência
são, respectivamente, 5 e -5.