Determine se sumn=1^infty 2 n(-1)^nn^2+1 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A gente vai precisar entender sobre convergência de séries, que é o assunto principal aqui. Para resolver isso, vamos olhar tanto para a série original quanto para sua versão com valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente olha para a série sem o sinal alternado, ou seja, considera apenas os valores positivos dos termos:
sumn=1^infty | 2n(-1)^nn^2+1 | = sumn=1^infty 2nn^2+1

Passo 3

Agora, para verificar se essa série com valores absolutos converge, podemos comparar com uma série conhecida. Observamos que para todo 2nn^2+1 >= 2nn^2+n^2 = 2n2n^2 = 1n :
sumn=1^infty 2nn^2+1 diver>=
A série é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. Como os termos da nossa série com valores absolutos são maiores ou iguais aos termos da série harmônica, pela Comparação com Série Divergente, concluímos que:
Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Como a série não é absolutamente convergente, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos alternados diminuem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge.
Primeiro, verificamos o limite dos termos sem o sinal alternado:
Além disso, a sequência limn to infty 2nn^2+1 = limn to infty 2n + 1n = 0 é monotonicamente decrescente para . Portanto, todas as condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, e a série converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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