Considere uma esfera condutora de raio a envolta por duas cascas esféricas condutoras de raios b e c, onde c / 6=b / 5=a. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio c é V e que o espaço entre as cascas esféricas está preenchido por um material de constante dielétrica k, determine: b) a capacitâcia equivalente do sistema em termos de epsilono e a.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma configuração com três esferas condutoras concêntricas: uma esfera central de raio $ a $, seguida por duas cascas esféricas de raios $ b $ e $ c $. Sabemos que $ \frac{c}{6} = \frac{b}{5} = a $, e que a diferença de potencial (ddp) entre a esfera central e a casca externa de raio $ c $ é $ V $. Além disso, o espaço entre as cascas está preenchido com um material dielétrico de constante $ k $. Nosso objetivo aqui é determinar a capacitância equivalente desse sistema em termos de $ \epsilon_{0} $ e $ a $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre os raios das esferas. Sabemos que:
c6 = b5 = a
Vamos expressar $ b $ e $ c $ em termos de $ a $:
b
c
Então, os raios são $ a $, $ 5a $ e $ 6a $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a capacitância entre cada par de esferas. Como temos três esferas, temos duas regiões capacitivas:
  1. Entre as esferas de raio $ a $ e $ 5a $
  2. Entre as esferas de raio $ 5a $ e $ 6a $
A capacitância de uma casca esférica com dielétrico é dada por:
onde $ R_{1} $ e $ R_{2} $ são os raios das esferas.

Passo 4

Vamos calcular a capacitância entre $ a $ e $ 5a $:
a
Agora, entre $ 5a $ e $ 6a $:
5a

Passo 5

Como as capacitâncias $ C_1 $ e $ C_2 $ estão em série (uma após a outra), a capacitância equivalente $ C_{eq} $ é dada por:
C1
Substituindo os valores:
C2
Para somar as frações, precisamos de um denominador comum:
Ceq
Inverter para encontrar $ C_{eq} $:
1Ceq = 1C1 + 1C2

Resposta

A capacitância equivalente do sistema é $ C_{eq} = \dfrac{24,\pi,k,\epsilon_{0},a}{5} $.

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