Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas e . Isso envolve conhecimentos de Funções Quadráticas e Geometria Analítica. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano e calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas funções: e . Ambas são parábolas que abrem para cima, já que o coeficiente de é positivo. A diferença entre elas está no termo constante, que faz com que uma esteja deslocada verticalmente em relação à outra.

Passo 3

Para esboçar as parábolas, vamos identificar os vértices de cada uma. A função geral de uma parábola é . No nosso caso, não há termo de , então o vértice de cada parábola está em .
  • Para , o vértice é .
  • Para , o vértice é .

Passo 4

Agora, vamos ver se essas duas parábolas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso não faz sentido matematicamente, o que significa que as duas parábolas não se cruzam. Elas são paralelas e estão separadas por uma distância constante.

Passo 5

Como as parábolas não se intersectam, a região limitada por elas não está fechada — ou seja, não há uma área finita entre elas. Technicamente, a “região” entre duas parábolas paralelas como essas se estende infinitamente em ambas as direções ao longo do eixo .

Resposta

As curvas e são parábolas paralelas que não se intersectam, formando uma região ilimitada entre elas. Portanto, a área entre as duas curvas é infinita.

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