Esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule a região das mesmas:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve conhecimentos de Funções Quadráticas e Geometria Analítica. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam no plano cartesiano e calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as duas funções:
e
. Ambas são parábolas que abrem para cima, já que o coeficiente de
é positivo. A diferença entre elas está no termo constante, que faz com que uma esteja deslocada verticalmente em relação à outra.
Passo 3
Para esboçar as parábolas, vamos identificar os vértices de cada uma. A função geral de uma parábola é
. No nosso caso, não há termo de
, então o vértice de cada parábola está em
.
- Para
, o vértice é . - Para
, o vértice é .
Passo 4
Agora, vamos ver se essas duas parábolas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso não faz sentido matematicamente, o que significa que as duas parábolas não se cruzam. Elas são paralelas e estão separadas por uma distância constante.
Passo 5
Como as parábolas não se intersectam, a região limitada por elas não está fechada — ou seja, não há uma área finita entre elas. Technicamente, a “região” entre duas parábolas paralelas como essas se estende infinitamente em ambas as direções ao longo do eixo
.
Resposta
As curvas
e
são parábolas paralelas que não se intersectam, formando uma região ilimitada entre elas. Portanto, a área entre as duas curvas é infinita.
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e as curvas
e
.
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.
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por pé linear e a cerca de aço custa
por pé linear, determine as dimensões da área cercada que pode ser construída com custo mínimo.
Questão: Sejam
e
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a 6 km rio abaixo de
. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de
a
. Se o custo por
do cabo é
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definido por
e
. Faça uma figura ilustrando
. Calcule as integrais: