Considere o campo G(x, y, z)=(cos (z y)+x^2, 0, e^x y+2 z y) e a região:
R=(x, y, z) in R^3 mid y^2=x^2+z^2, 2 <= y <= 6
Calcule o fluxo de G através da superfície partial R orientada positivamente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial G(x, y, z) = (cos(z y) + x^2, 0, e^x y + 2 z y) através da superfície partial R, onde R é a região definida por y^2 = x^2 + z^2 com 2 <= y <= 6. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo através da superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro da região. Então, precisamos calcular a divergência de G e integrá-la sobre a região R.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial G. A divergência de um campo vetorial G = (Gx, Gy, Gz) é dada por:
nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Gxpartial x = partialpartial x (cos(z y) + x^2) = 2x
  2. partial Gypartial y = partialpartial y (0) = 0
  3. partial Gzpartial z = partialpartial z (e^x y + 2 z y) = 2y
Portanto, a divergência de G é:
nabla cdot G = 2x + 0 + 2y = 2x + 2y

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo de G através da superfície partial R é igual à integral tripla da divergência de G sobre a região R:
Fluxo = integral triplaR (nabla cdot G) , dV = integral triplaR (2x + 2y) , dV
Para resolver essa integral, é mais conveniente mudar para coordenadas cilíndricas, pois a região R possui simetria circular em torno do eixo y.

Passo 4

Vamos converter as coordenadas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas (r, theta, y), temos:
  • x = r cos theta
  • z = r sin theta
  • y = y
A condição y^2 = x^2 + z^2 se torna y^2 = r^2, ou seja, r = y. Portanto, a região R em coordenadas cilíndricas é definida por 2 <= y <= 6 e 0 <= r <= y, com 0 <= theta <= 2pi.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r , dr , dtheta , dy.

Passo 5

Vamos reescrever a integral tripla na forma cilíndrica:
Fluxo = integraly=2^6 integraltheta=0^2pi integralr=0^y (2x + 2y) , r , dr , dtheta , dy
Substituindo x = r cos theta:
Fluxo = integral2^6 integral0^2pi integral0^y (2r cos theta + 2y) r , dr , dtheta , dy
Simplificando:
Fluxo = integral2^6 integral0^2pi integral0^y (2r^2 cos theta + 2y r) , dr , dtheta , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a r:
integral0^y (2r^2 cos theta + 2y r) , dr = 2 cos theta integral0^y r^2 , dr + 2y integral0^y r , dr
Calculando cada parte:
  1. 2 cos theta integral0^y r^2 , dr = 2 cos theta [ r^33 ]0^y = 2 cos theta ( y^33 ) = 23 y^3 cos theta
  2. 2y integral0^y r , dr = 2y [ r^22 ]0^y = 2y ( y^22 ) = y^3
Então, a integral interna resulta em:
23 y^3 cos theta + y^3 = y^3 (1 + 23 cos theta)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral e calculamos em relação a theta:
Fluxo = integral2^6 integral0^2pi y^3 (1 + 23 cos theta) , dtheta , dy
Vamos dividir a integral em duas partes:
Fluxo = integral2^6 [ integral0^2pi y^3 , dtheta + 23 integral0^2pi y^3 cos theta , dtheta ] , dy
Calculando cada integral em theta:
  1. integral0^2pi y^3 , dtheta = y^3 [ theta ]0^2pi = y^3 (2pi) = 2pi y^3
  2. 23 integral0^2pi y^3 cos theta , dtheta = 23 y^3 [ sin theta ]0^2pi = 23 y^3 (0) = 0
Portanto, a integral simplifica para:
Fluxo = integral2^6 2pi y^3 , dy

Passo 8

Agora, calculamos a última integral em relação a y:
Fluxo = 2pi integral2^6 y^3 , dy = 2pi [ y^44 ]2^6 = 2pi ( 6^44 - 2^44 )
Calculando os valores:
  • 6^4 = 1296
  • 2^4 = 16
Então:
Fluxo = 2pi ( 12964 - 164 ) = 2pi ( 324 - 4 ) = 2pi (320) = 640pi

Resposta

O fluxo do campo G através da superfície partial R orientada positivamente é 640pi.

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