Considere o campo e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície orientada positivamente.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , onde é a região definida por com . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo através da superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro da região. Então, precisamos calcular a divergência de e integrá-la sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, a divergência de é:

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo de através da superfície é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Para resolver essa integral, é mais conveniente mudar para coordenadas cilíndricas, pois a região possui simetria circular em torno do eixo .

Passo 4

Vamos converter as coordenadas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas , temos:
A condição se torna , ou seja, . Portanto, a região em coordenadas cilíndricas é definida por e , com .
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 5

Vamos reescrever a integral tripla na forma cilíndrica:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral e calculamos em relação a :
Vamos dividir a integral em duas partes:
Calculando cada integral em :
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 8

Agora, calculamos a última integral em relação a :
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície orientada positivamente é .

Exercícios relacionados

Seja a curva no plano dada pelo semicírculo de raio e centro abaixo da reta e seja a superfície dada pela rotação da curva em torno do eixo .
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
: A superfície da esfera de raio 2 centrada na origem com vetores normais apontando para fora.
: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Encontre parametrizações regulares para as superfícies especificando os seus domínios e mostre que são regulares.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja a curva de fronteira de orientada positivamente de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira está contida em um cilíndro.
: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Seja V o volume da região limitada pela superfície . Calcule, em termos de , o fluxo do campo através de sua fronteira , orientada positivamente.