Considere o campo
e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície
orientada positivamente.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, onde
é a região definida por
com
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo através da superfície fechada com a integral da divergência do campo dentro da região. Então, precisamos calcular a divergência de
e integrá-la sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Então, vamos calcular cada derivada parcial:
Portanto, a divergência de
é:
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos que o fluxo de
através da superfície
é igual à integral tripla da divergência de
sobre a região
:
Para resolver essa integral, é mais conveniente mudar para coordenadas cilíndricas, pois a região
possui simetria circular em torno do eixo
.
Passo 4
Vamos converter as coordenadas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas
, temos:
A condição
se torna
, ou seja,
. Portanto, a região
em coordenadas cilíndricas é definida por
e
, com
.
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral tripla na forma cilíndrica:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral e calculamos em relação a
:
Vamos dividir a integral em duas partes:
Calculando cada integral em
:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 8
Agora, calculamos a última integral em relação a
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície
orientada positivamente é
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva no plano
dada pelo semicírculo de raio
e centro
abaixo da reta
e seja
a superfície dada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
Faça um esboço de
Encontre parametrizações regulares para as superfícies
Seja
Mostre que a curva de fronteira
Seja V o volume da região