: O plano
restrito ao cone
, orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja
a curva de fronteira de
orientada positivamente de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira
está contida em um cilíndro.
Seja
Mostre que a curva de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um plano dado por
que está cortando um cone definido por
. Nosso objetivo é mostrar que a curva de interseção desses dois superfícies, chamada de
, está dentro de um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a interseção de superfícies e identificar a forma geométrica resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção. Substituímos
do plano na equação do cone:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Então, temos:
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Vamos simplificar a equação subtraindo
de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 7
Podemos reescrever essa equação como:
Para identificar a forma geométrica, vamos completar o quadrado para a variável
:
Simplificando:
Passo 8
Completando o quadrado para
:
Substituindo na equação:
Distribuindo:
Simplificando:
Passo 9
Dividindo todos os termos por
para colocar na forma padrão:
Isso representa uma elipse no plano
.
Passo 10
A equação final mostra que
está contida em uma elipse, que é uma seção cônica. No entanto, essa elipse está isolada no espaço, mas podemos observar que para cada ponto na elipse,
está definido pelo plano
, o que mantém a curva dentro de um cilindro imaginário ao redor do eixo devido à relação linear entre
e
.
Resposta
A curva de fronteira
está contida em um cilindro, conforme demonstrado pela interseção das equações do plano e do cone resultando em uma elipse que se encaixa dentro de um cilindro no espaço.
Exercícios relacionados
Considere o campo
e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície
orientada positivamente.
Seja
a curva no plano
dada pelo semicírculo de raio
e centro
abaixo da reta
e seja
a superfície dada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
Faça um esboço de
Seja V o volume da região
Considere os campos vetoriais
Calcule o trabalho do campo
ao longo da projeção da fronteira de
em
, orientada negativamente.