S1 : O plano z = x/2 + 2 restrito ao cone z^2 = 4(x + 1)^2 + 4y^2, orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja C1 a curva de fronteira de S1 orientada positivamente de modo que sua projeção no plano z = 0 seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira C1 está contida em um cilíndro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um plano dado por que está cortando um cone definido por . Nosso objetivo é mostrar que a curva de interseção desses dois superfícies, chamada de , está dentro de um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a interseção de superfícies e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção. Substituímos do plano na equação do cone:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Então, temos:

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Vamos simplificar a equação subtraindo de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:

Passo 7

Podemos reescrever essa equação como:
Para identificar a forma geométrica, vamos completar o quadrado para a variável :
Simplificando:

Passo 8

Completando o quadrado para :
Substituindo na equação:
Distribuindo:
Simplificando:

Passo 9

Dividindo todos os termos por para colocar na forma padrão:
Isso representa uma elipse no plano .

Passo 10

A equação final mostra que está contida em uma elipse, que é uma seção cônica. No entanto, essa elipse está isolada no espaço, mas podemos observar que para cada ponto na elipse, está definido pelo plano , o que mantém a curva dentro de um cilindro imaginário ao redor do eixo devido à relação linear entre e .

Resposta

A curva de fronteira está contida em um cilindro, conforme demonstrado pela interseção das equações do plano e do cone resultando em uma elipse que se encaixa dentro de um cilindro no espaço.

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