: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja a curva de fronteira de orientada positivamente de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira está contida em um cilíndro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos um plano dado por que está cortando um cone definido por . Nosso objetivo é mostrar que a curva de interseção desses dois superfícies, chamada de , está dentro de um cilindro. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver a interseção de superfícies e identificar a forma geométrica resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção. Substituímos do plano na equação do cone:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Então, temos:

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Vamos simplificar a equação subtraindo de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:

Passo 7

Podemos reescrever essa equação como:
Para identificar a forma geométrica, vamos completar o quadrado para a variável :
Simplificando:

Passo 8

Completando o quadrado para :
Substituindo na equação:
Distribuindo:
Simplificando:

Passo 9

Dividindo todos os termos por para colocar na forma padrão:
Isso representa uma elipse no plano .

Passo 10

A equação final mostra que está contida em uma elipse, que é uma seção cônica. No entanto, essa elipse está isolada no espaço, mas podemos observar que para cada ponto na elipse, está definido pelo plano , o que mantém a curva dentro de um cilindro imaginário ao redor do eixo devido à relação linear entre e .

Resposta

A curva de fronteira está contida em um cilindro, conforme demonstrado pela interseção das equações do plano e do cone resultando em uma elipse que se encaixa dentro de um cilindro no espaço.

Exercícios relacionados

Considere o campo e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície orientada positivamente.
Seja a curva no plano dada pelo semicírculo de raio e centro abaixo da reta e seja a superfície dada pela rotação da curva em torno do eixo .
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Seja V o volume da região limitada pela superfície . Calcule, em termos de , o fluxo do campo através de sua fronteira , orientada positivamente.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Considere os campos vetoriais :
Calcule o trabalho do campo ao longo da projeção da fronteira de em , orientada negativamente.