: A superfície limitada inferiormente pelo plano
e superiormente por
, orientada positivamente.
Seja V o volume da região
limitada pela superfície
. Calcule, em termos de
, o fluxo do campo
através de sua fronteira
, orientada positivamente.
Seja V o volume da região
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma superfície
limitada inferiormente pelo plano
e superiormente por outra superfície
. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial
através da fronteira dessa região
, que é toda a superfície que envolve o volume
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, é uma medida de quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. O Teorema da Divergência nos diz que esse fluxo pode ser calculado integrando a divergência do campo vetorial sobre o volume
.
Passo 3
Então, o que precisamos fazer agora é calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora vamos somar essas derivadas para achar a divergência:
Legal, a divergência do campo
é constante e igual a 13.
Passo 6
Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo do campo
através da superfície fechada
é igual à divergência vezes o volume
:
Resposta
O fluxo do campo
através da fronteira
é igual a
.