S3 : A superfície limitada inferiormente pelo plano z=x2+2 e superiormente por S2, orientada positivamente.
Seja V o volume da região R limitada pela superfície S3. Calcule, em termos de V, o fluxo do campo H(x, y, z)=(6 x+x^2, 7 y-x y, e^cos (x y)-x z) através de sua fronteira partial R, orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por outra superfície . Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da fronteira dessa região , que é toda a superfície que envolve o volume . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, é uma medida de quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. O Teorema da Divergência nos diz que esse fluxo pode ser calculado integrando a divergência do campo vetorial sobre o volume .

Passo 3

Então, o que precisamos fazer agora é calcular a divergência do campo nabla cdot H = partial Hxpartial x + partial Hypartial y + partial Hzpartial z . A divergência é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando Hx = 6x + x^2 Rightarrow partial Hxpartial x = 6 + 2x :
Hy = 7y - xy Rightarrow partial Hypartial y = 7 - x
Calculando Hz = e^cos(xy) - xz Rightarrow partial Hzpartial z = -x :
Calculando :

Passo 5

Agora vamos somar essas derivadas para achar a divergência:
nabla cdot H = (6 + 2x) + (7 - x) + (-x) = 6 + 2x + 7 - x - x = 13
Legal, a divergência do campo é constante e igual a 13.

Passo 6

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo do campo Fluxo = nabla cdot H times V = 13 times V = 13V através da superfície fechada é igual à divergência vezes o volume :

Resposta

O fluxo do campo através da fronteira é igual a .

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