: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Seja V o volume da região limitada pela superfície . Calcule, em termos de , o fluxo do campo através de sua fronteira , orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos uma superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por outra superfície . Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através da fronteira dessa região , que é toda a superfície que envolve o volume . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Basicamente, é uma medida de quanta “quantidade” do campo está passando pela superfície. O Teorema da Divergência nos diz que esse fluxo pode ser calculado integrando a divergência do campo vetorial sobre o volume .

Passo 3

Então, o que precisamos fazer agora é calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora vamos somar essas derivadas para achar a divergência:
Legal, a divergência do campo é constante e igual a 13.

Passo 6

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo do campo através da superfície fechada é igual à divergência vezes o volume :

Resposta

O fluxo do campo através da fronteira é igual a .

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: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja a curva de fronteira de orientada positivamente de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira está contida em um cilíndro.
Considere o campo e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície orientada positivamente.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Considere os campos vetoriais :
Calcule o trabalho do campo ao longo da projeção da fronteira de em , orientada negativamente.
O gráfico de é dado.Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções: