Seja a curva no plano dada pelo semicírculo de raio e centro abaixo da reta e seja a superfície dada pela rotação da curva em torno do eixo .
Faça um esboço de e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva no plano , que é um semicírculo com raio e centro no ponto . Essa curva está localizada abaixo da reta . A superfície é formada pela rotação dessa curva em torno do eixo .
Para resolver o exercício, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies geradas por rotação, e também entender o que significa uma superfície ser regular ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar visualizar como fica essa superfície . Imagine o semicírculo que está abaixo da reta no plano . Quando giramos esse semicírculo em torno do eixo , ele forma uma espécie de “anel” ou “tubo” no espaço tridimensional.
Para fazer um esboço, pense em um semicírculo posicionado de tal forma que seu centro está em . Ao girar essa curva em torno do eixo , cada ponto do semicírculo descreve um círculo no espaço, criando uma superfície tridimensional.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a regularidade da superfície. Uma superfície é dita regular se, em todo ponto dela, é possível definir um vetor normal de maneira única. Isso geralmente envolve calcular as derivadas parciais da parametrização da superfície e verificar o determinante delas (ou o produto vetorial) para garantir que não seja zero.
No caso da nossa superfície , como ela é gerada pela rotação de um semicírculo, podemos parametrizar a superfície usando coordenadas polares em torno do eixo . No entanto, ao fazer isso, notamos que em certos pontos, como no topo e na base do semicírculo original, o vetor normal não é bem definido. Isso acontece porque nesses pontos a curva original tem uma tangente vertical, o que faz com que, ao girar, os vetores normais se tornem múltiplos do eixo , perdendo assim a unicidade.

Passo 4

Portanto, a superfície não é regular em alguns pontos específicos. Esses pontos são onde a derivada da parametrização da superfície se anula ou não está definida corretamente, resultando em vetores normais não únicos ou inexistentes.

Resposta

A superfície é formada pela rotação de um semicírculo de raio com centro em abaixo da reta em torno do eixo , resultando em um “anel” tridimensional. Essa superfície não é regular nos pontos onde a curva original tem tangentes verticais, ou seja, nos pontos mais altos e mais baixos do semicírculo. Nesses pontos, o vetor normal não é bem definido, fazendo com que não seja regular nessas regiões.

Exercícios relacionados

: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
: A superfície da esfera de raio 2 centrada na origem com vetores normais apontando para fora.
: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Encontre parametrizações regulares para as superfícies especificando os seus domínios e mostre que são regulares.
Mostre que o campo dado pela equação:
é conservativo e calcule um potencial de modo que .
Considere o campo e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície orientada positivamente.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja a curva de fronteira de orientada positivamente de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira está contida em um cilíndro.