Seja
a curva no plano
dada pelo semicírculo de raio
e centro
abaixo da reta
e seja
a superfície dada pela rotação da curva
em torno do eixo
.
Faça um esboço de
e mostre que ela não é regular. Descreva seu(s) ponto(s) não regulares.
Faça um esboço de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva
no plano
, que é um semicírculo com raio
e centro no ponto
. Essa curva está localizada abaixo da reta
. A superfície
é formada pela rotação dessa curva
em torno do eixo
.
Para resolver o exercício, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies geradas por rotação, e também entender o que significa uma superfície ser regular ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar visualizar como fica essa superfície
. Imagine o semicírculo
que está abaixo da reta
no plano
. Quando giramos esse semicírculo em torno do eixo
, ele forma uma espécie de “anel” ou “tubo” no espaço tridimensional.
Para fazer um esboço, pense em um semicírculo posicionado de tal forma que seu centro está em
. Ao girar essa curva em torno do eixo
, cada ponto do semicírculo descreve um círculo no espaço, criando uma superfície tridimensional.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a regularidade da superfície. Uma superfície é dita regular se, em todo ponto dela, é possível definir um vetor normal de maneira única. Isso geralmente envolve calcular as derivadas parciais da parametrização da superfície e verificar o determinante delas (ou o produto vetorial) para garantir que não seja zero.
No caso da nossa superfície
, como ela é gerada pela rotação de um semicírculo, podemos parametrizar a superfície usando coordenadas polares em torno do eixo
. No entanto, ao fazer isso, notamos que em certos pontos, como no topo e na base do semicírculo original, o vetor normal não é bem definido. Isso acontece porque nesses pontos a curva original tem uma tangente vertical, o que faz com que, ao girar, os vetores normais se tornem múltiplos do eixo
, perdendo assim a unicidade.
Passo 4
Portanto, a superfície
não é regular em alguns pontos específicos. Esses pontos são onde a derivada da parametrização da superfície se anula ou não está definida corretamente, resultando em vetores normais não únicos ou inexistentes.
Resposta
A superfície
é formada pela rotação de um semicírculo de raio
com centro em
abaixo da reta
em torno do eixo
, resultando em um “anel” tridimensional. Essa superfície não é regular nos pontos onde a curva original tem tangentes verticais, ou seja, nos pontos mais altos e mais baixos do semicírculo. Nesses pontos, o vetor normal não é bem definido, fazendo com que
não seja regular nessas regiões.
Exercícios relacionados
Encontre parametrizações regulares para as superfícies
Mostre que o campo
dado pela equação:
é conservativo e calcule um potencial
de modo que
.
Considere o campo
e a região:
Calcule o fluxo de G através da superfície
orientada positivamente.
Seja
Mostre que a curva de fronteira