Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
L di/dt + R i = E, i(0) = i0 ; L, R, E e i0 constantes

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial. O conteúdo aqui é de equações diferenciais lineares. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante e achar o intervalo onde a solução faz sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação:
Isso é uma equação diferencial linear onde , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar , a corrente em função do tempo.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para ficar no padrão:
Aqui, é o coeficiente de , e é o termo constante.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução. O fator integrante é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral fica:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então:

Passo 9

Substituindo de volta na solução:

Resposta

A solução da equação é:
O maior intervalo onde a solução está definida é , ou seja, para todo real.

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