Considere o campo elétrico de uma distribuição de cargas, dada pela expressão:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para calcular a divergência do campo elétrico dado por uma integral tripla e, em seguida, demonstrar a Lei de Gauss, que relaciona a divergência do campo elétrico à densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a operação de divergência, e entender um pouquinho sobre como campos elétricos são gerados por distribuições de carga. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo elétrico. A divergência, representada por , mede o quão “convergente” ou “divergente” é o campo em um ponto específico. No contexto das leis de Maxwell, a divergência do campo elétrico está diretamente relacionada à densidade de carga que gera esse campo.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão do campo elétrico que você forneceu:
Aqui, é a densidade de carga na posição , e estamos integrando sobre todo o volume onde a carga está distribuída. A fração envolvendo e representa a contribuição do campo elétrico de cada elemento de carga para o ponto onde estamos calculando .
Passo 4
Para encontrar a divergência desse campo elétrico, vamos aplicar o operador divergência à expressão de . O operador divergência atua apenas sobre a variável , já que é uma variável de integração. Então, temos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a divergência do termo . Existe uma identidade importante no cálculo vetorial que nos diz:
onde e é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto quando .
Passo 6
Aplicando essa identidade ao nosso caso, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para , ficamos com:
Passo 8
O “4 pi” do numerador e do denominador se cancelam, simplificando para:
Passo 9
A função delta de Dirac tem a propriedade de “selecionar” o valor da função onde seu argumento é zero. Portanto, a integral simplifica para:
Resposta
Portanto, demonstramos que a divergência do campo elétrico é igual à densidade de carga dividida pela constante , ou seja:
Isso confirma a Lei de Gauss para o campo elétrico.