Considere o campo elétrico de uma distribuição de cargas, dada pela expressão:
E(r)=14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime) (r-r^prime)|r-r^prime|^3 d V^prime Calcu<= nabla cdot E e demonstre a Lei de Gauss, ou seja:
nabla cdot E=rhovarepsilon0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que pede para calcular a divergência do campo elétrico dado por uma integral tripla e, em seguida, demonstrar a Lei de Gauss, que relaciona a divergência do campo elétrico à densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a operação de divergência, e entender um pouquinho sobre como campos elétricos são gerados por distribuições de carga. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo elétrico. A divergência, representada por nabla cdot E, mede o quão “convergente” ou “divergente” é o campo em um ponto específico. No contexto das leis de Maxwell, a divergência do campo elétrico está diretamente relacionada à densidade de carga que gera esse campo.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão do campo elétrico que você forneceu:
E(r) = 14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime) (r - r^prime)|r - r^prime|^3 dV^prime
Aqui, rho(r^prime) é a densidade de carga na posição r^prime, e estamos integrando sobre todo o volume V^prime onde a carga está distribuída. A fração envolvendo (r - r^prime) e |r - r^prime|^3 representa a contribuição do campo elétrico de cada elemento de carga para o ponto r onde estamos calculando E.

Passo 4

Para encontrar a divergência desse campo elétrico, vamos aplicar o operador divergência nabla à expressão de E(r). O operador divergência atua apenas sobre a variável r, já que r^prime é uma variável de integração. Então, temos:
nabla cdot E(r) = 14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime) nabla cdot ( r - r^prime|r - r^prime|^3 ) dV^prime

Passo 5

Agora, precisamos calcular a divergência do termo r - r^prime|r - r^prime|^3. Existe uma identidade importante no cálculo vetorial que nos diz:
nabla cdot ( RR^3 ) = 4 pi de
onde R = r - r^prime e de é a função delta de Dirac, que é zero em todos os lugares exceto quando R = 0.

Passo 6

Aplicando essa identidade ao nosso caso, temos:
nabla cdot ( r - r^prime|r - r^prime|^3 ) = 4 pi de

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para nabla cdot E(r), ficamos com:
nabla cdot E(r) = 14 pi varepsilon0 integral tripla rho(r^prime) cdot 4 pi de

Passo 8

O “4 pi” do numerador e do denominador se cancelam, simplificando para:
nabla cdot E(r) = 1varepsilon0 integral tripla rho(r^prime) de

Passo 9

A função delta de Dirac tem a propriedade de “selecionar” o valor da função onde seu argumento é zero. Portanto, a integral simplifica para:
nabla cdot E(r) = 1varepsilon0 rho(r)

Resposta

Portanto, demonstramos que a divergência do campo elétrico E é igual à densidade de carga rho dividida pela constante varepsilon0, ou seja:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Isso confirma a Lei de Gauss para o campo elétrico.

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