Uma distribuição de carga produz o seguinte campo elétrico radial:
E=A e^-b rr r
Qual é a carga total Q?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo elétrico radial dado por:
E=A e^-b rr r
Nosso objetivo é encontrar a carga total que gera esse campo elétrico. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre o campo elétrico e a densidade de carga.

Passo 2

A Lei de Gauss nos diz que a carga total oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 dentro de uma superfície fechada é relacionada ao fluxo do campo elétrico através dessa superfície:
Onde é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o campo elétrico dado é radial, é conveniente usar coordenadas esféricas. O fluxo elétrico através de uma esfera de raio PhiE = Er cdot 4pi r^2 é:
PhiE = ( A e^-b rr ) cdot 4pi r^2 = 4pi A r e^-b r
Substituindo o campo elétrico fornecido:

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
4pi A r e^-b r = Qvarepsilon0
Para encontrar a carga total , precisamos considerar o limite quando tende ao infinito, já que queremos a carga total presente.

Passo 5

Quando rho = varepsilon0 nabla cdot E tende ao infinito, nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 Er ) = 1r^2 ddr ( A r e^-b r ) = A e^-b rr^2 (1 - b r ) tende a zero. No entanto, para encontrar a carga total, devemos integrar a densidade de carga em todo o espaço. A densidade de carga está relacionada ao divergente do campo elétrico:
Calculando o divergente em coordenadas esféricas:

Passo 6

A carga total Q = integral0^infty rho cdot 4 pi r^2 dr = 4 pi varepsilon0 A integral0^infty e^-b r (1 - b r ) dr é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:
integral0^infty e^-b r (1 - b r ) dr = 1b - 1b = 0
Resolvendo a integral:
Isso indica que a contribuição da distribuição contínua de carga é zero, sugerindo a presença de uma carga pontual no centro.

Passo 7

Para considerar a carga pontual, usamos a condição de que o campo elétrico no limite E = 14 pi varepsilon0 Qr^2 r deve corresponder ao de uma carga pontual:
A e^-b rr approx A 1r quando r to 0
Comparando com o campo dado:
Q = 4 pi varepsilon0 Ab^2
Para que os campos coincidam, devemos ter:

Resposta

A carga total é:
Q = 4 pi varepsilon0 Ab^2

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