Uma distribuição de carga produz o seguinte campo elétrico radial:
Qual é a carga total Q?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo elétrico radial dado por:
Nosso objetivo é encontrar a carga total
que gera esse campo elétrico. Para isso, vamos utilizar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre o campo elétrico e a densidade de carga.
Passo 2
A Lei de Gauss nos diz que a carga total
dentro de uma superfície fechada é relacionada ao fluxo do campo elétrico através dessa superfície:
Onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como o campo elétrico dado é radial, é conveniente usar coordenadas esféricas. O fluxo elétrico através de uma esfera de raio
é:
Substituindo o campo elétrico fornecido:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss:
Para encontrar a carga total
, precisamos considerar o limite quando
tende ao infinito, já que queremos a carga total presente.
Passo 5
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. No entanto, para encontrar a carga total, devemos integrar a densidade de carga em todo o espaço. A densidade de carga
está relacionada ao divergente do campo elétrico:
Calculando o divergente em coordenadas esféricas:
Passo 6
A carga total
é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:
Resolvendo a integral:
Isso indica que a contribuição da distribuição contínua de carga é zero, sugerindo a presença de uma carga pontual no centro.
Passo 7
Para considerar a carga pontual, usamos a condição de que o campo elétrico no limite
deve corresponder ao de uma carga pontual:
Comparando com o campo dado:
Para que os campos coincidam, devemos ter:
Resposta
A carga total é: