Uma distribuição de carga produz o seguinte campo elétrico radial:
E=A e^-b rr r
Encontre a distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distribuição de carga que gera o campo elétrico radial dado por
E = A e^-b rr r
Isso está ligado ao conteúdo de Eletrostática, mais especificamente à Lei de Gauss. Vamos usar essa lei para relacionar o campo elétrico com a distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss na forma diferencial, que é:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, nabla cdot E é a divergência do campo elétrico, rho é a densidade de carga, e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o campo elétrico é radial, é mais fácil calcular a divergência em coordenadas esféricas. A divergência de um campo radial E = Er r em coordenadas esféricas é dada por:
nabla cdot E = 1r^2 ddr (r^2 Er)
Vamos usar essa fórmula para calcular a divergência do campo elétrico fornecido.

Passo 4

Substituindo Er = A e^-b rr na expressão da divergência:
nabla cdot E = 1r^2 ddr ( r^2 cdot A e^-b rr ) = 1r^2 ddr ( A r e^-b r )
Agora, vamos derivar A r e^-b r em relação a r:
ddr ( A r e^-b r ) = A e^-b r + A r (-b e^-b r) = A e^-b r - A b r e^-b r

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão da divergência:
nabla cdot E = 1r^2 ( A e^-b r - A b r e^-b r ) = A e^-b rr^2 (1 - b r)
Finalmente, usando a Lei de Gauss para encontrar a densidade de carga rho:
rho = varepsilon0 nabla cdot E = varepsilon0 A e^-b rr^2 (1 - b r)

Resposta

A distribuição de carga é
rho(r) = varepsilon0 A e^-b rr^2 (1 - b r)

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