Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio R, carga Q, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por rho=(Ae^r). Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico produzido por uma esfera carregada. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática. O problema fala de uma esfera com raio , carga total e uma densidade de carga que varia de acordo com . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico quando estamos muito longe da esfera, ou seja, quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( oint E cdot dA = Qdentroepsilon0 ):
Como queremos o campo em , vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio .

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Dada a densidade de carga Q = integral0^R rho cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^R r'^2 e^r' dr' , a carga total dentro da esfera de raio é:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais.

Passo 4

Resolvendo a integral:
integral r'^2 e^r' dr' = e^r'(r'^2 - 2r' + 2) + C
Aplicando os limites de 0 a Q = 4pi A [ e^R(R^2 - 2R + 2) - 2 ] :
A = Q4pi [ e^R(R^2 - 2R + 2) - 2 ]
Como é conhecido, podemos resolver para :

Passo 5

Agora que temos oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0 em termos de E = Q4pi epsilon0 r^2 , vamos voltar à Lei de Gauss. Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Então, o fluxo elétrico é:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico para E = Q4pi epsilon0 r^2 é:

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