Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio , carga , mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por . Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico produzido por uma esfera carregada. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática. O problema fala de uma esfera com raio , carga total e uma densidade de carga que varia de acordo com . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico quando estamos muito longe da esfera, ou seja, quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Como queremos o campo em , vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio .

Passo 3

Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Dada a densidade de carga , a carga total dentro da esfera de raio é:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais.

Passo 4

Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de 0 a :
Como é conhecido, podemos resolver para :

Passo 5

Agora que temos em termos de , vamos voltar à Lei de Gauss. Para , toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Então, o fluxo elétrico é:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico para é:

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