Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio
, carga
, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por
. Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico produzido por uma esfera carregada. A gente vai usar a Lei de Gauss, que é uma das ferramentas principais na eletrostática. O problema fala de uma esfera com raio
, carga total
e uma densidade de carga que varia de acordo com
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
quando estamos muito longe da esfera, ou seja, quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Como queremos o campo em
, vamos considerar uma superfície gaussiana esférica com raio
.
Passo 3
Para aplicar a Lei de Gauss, precisamos calcular a carga total dentro da superfície gaussiana. Dada a densidade de carga
, a carga total
dentro da esfera de raio
é:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais.
Passo 4
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de 0 a
:
Como
é conhecido, podemos resolver para
:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, vamos voltar à Lei de Gauss. Para
, toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Então, o fluxo elétrico é:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico para
é:
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;
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