Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para usar cortes (ou seções) para esboçar e identificar a superfície definida pela equação:

Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quádricas. Para resolver, vamos analisar cortes da superfície nos eixos principais para entender sua forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Temos termos quadráticos em , e com diferentes sinais:

Isso sugere que estamos lidando com uma superfície quádica hiperbólica, já que temos múltiplos sinais nos termos quadráticos.

Passo 3

Vamos fazer cortes paralelos aos planos coordenados para visualizar melhor a superfície.
Corte no plano (onde ):
Substituindo na equação:

Podemos reescrever como:
Isso é uma hipérbole.

Passo 4

Corte no plano (onde ):
Substituindo na equação:

Reescrevendo:
Essa equação não tem solução real, o que significa que não há interseção com o plano .

Passo 5

Corte no plano (onde ):
Substituindo na equação:

Podemos reescrever como:
Isso também é uma hipérbole.

Passo 6

Agora, vamos analisar os cortes nos planos paralelos aos eixos , e .
  • Plano paralelo ao eixo ( , ): Gerará hipérboles.
  • Plano paralelo ao eixo ou : Dependendo do valor de , também teremos hipérboles ou nada.
Isso reforça que a superfície é uma hiperboloide de duas folhas, pois temos hipérboles em diferentes cortes e nenhuma interseção no plano .

Resposta

A superfície definida pela equação é um hiperboloide de duas folhas. Os cortes nos planos e resultam em hipérboles, confirmando a natureza hiperbólica da superfície.

Exercícios relacionados

Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica ;
Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio , carga , mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por . Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:
que a equação representa como uma curva em ?
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.