Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para usar cortes (ou seções) para esboçar e identificar a superfície definida pela equação:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quádricas. Para resolver, vamos analisar cortes da superfície nos eixos principais para entender sua forma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Temos termos quadráticos em
,
e
com diferentes sinais:
Isso sugere que estamos lidando com uma superfície quádica hiperbólica, já que temos múltiplos sinais nos termos quadráticos.
Passo 3
Vamos fazer cortes paralelos aos planos coordenados para visualizar melhor a superfície.
Corte no plano
(onde
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Podemos reescrever como:
Isso é uma hipérbole.
Passo 4
Corte no plano
(onde
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Reescrevendo:
Essa equação não tem solução real, o que significa que não há interseção com o plano
.
Passo 5
Corte no plano
(onde
):
Substituindo na equação:
Substituindo
Podemos reescrever como:
Isso também é uma hipérbole.
Passo 6
Agora, vamos analisar os cortes nos planos paralelos aos eixos
,
e
.
- Plano paralelo ao eixo
( , ): Gerará hipérboles. - Plano paralelo ao eixo
ou : Dependendo do valor de , também teremos hipérboles ou nada.
Isso reforça que a superfície é uma hiperboloide de duas folhas, pois temos hipérboles em diferentes cortes e nenhuma interseção no plano
.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um hiperboloide de duas folhas. Os cortes nos planos
e
resultam em hipérboles, confirmando a natureza hiperbólica da superfície.
Exercícios relacionados
Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica
;
Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio
, carga
, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por
. Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.