Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
-x^2+4 y^2-z^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para usar cortes (ou seções) para esboçar e identificar a superfície definida pela equação:
-x^2 + 4 y^2 - z^2 = 4
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quádricas. Para resolver, vamos analisar cortes da superfície nos eixos principais para entender sua forma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Temos termos quadráticos em -x^2 + 4 y^2 - z^2 = 4, e com diferentes sinais:

Isso sugere que estamos lidando com uma superfície quádica hiperbólica, já que temos múltiplos sinais nos termos quadráticos.

Passo 3

Vamos fazer cortes paralelos aos planos coordenados para visualizar melhor a superfície.
Corte no plano -x^2 + 4 y^2 = 4 (onde x^24 - y^21 = -1):
Substituindo na equação:

Podemos reescrever como:
Isso é uma hipérbole.

Passo 4

Corte no plano -x^2 - z^2 = 4 (onde x^2 + z^2 = -4):
Substituindo na equação:

Reescrevendo:
Essa equação não tem solução real, o que significa que não há interseção com o plano .

Passo 5

Corte no plano 4 y^2 - z^2 = 4 (onde y^21 - z^24 = 1):
Substituindo na equação:

Podemos reescrever como:
Isso também é uma hipérbole.

Passo 6

Agora, vamos analisar os cortes nos planos paralelos aos eixos , e .
  • Plano paralelo ao eixo ( , ): Gerará hipérboles.
  • Plano paralelo ao eixo ou : Dependendo do valor de , também teremos hipérboles ou nada.
Isso reforça que a superfície é uma hiperboloide de duas folhas, pois temos hipérboles em diferentes cortes e nenhuma interseção no plano .

Resposta

A superfície definida pela equação é um hiperboloide de duas folhas. Os cortes nos planos e resultam em hipérboles, confirmando a natureza hiperbólica da superfície.

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