Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e condição de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:

Passo 4

Resolvendo as equações:
Para :
Para :

Passo 5

Assim, o ponto crítico é .

Passo 6

Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante:
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de mínimo local.

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Determinar os pontos críticos das funções:
Uma carga elétrica isolada q é colocada no centro de uma superfície fechada qualquer (de formato desconhecido). Podemos afirmar que o fluxo do campo elétrico para esta superfície é dado por:
que a equação representa?
Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio , carga , mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por . Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que: