Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e condição de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
e
, igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 4
Resolvendo as equações:
Para
:
Para
:
Passo 5
Assim, o ponto crítico é
.
Passo 6
Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante:
Como
e
, o ponto é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico é
e é um ponto de mínimo local.