Determinar os pontos críticos da função, classificando-os, quando possível. z=x^2+y^2-6 x-2 y+7

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e condição de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a e , igualá-las a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a partial zpartial x = 2x - 6 e partial zpartial y = 2y - 2 .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
2x - 6 = 0 e 2y - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo as equações:
Para 2x - 6 = 0 Rightarrow 2x = 6 Rightarrow x = 3 :
2y - 2 = 0 Rightarrow 2y = 2 Rightarrow y = 1
Para :

Passo 5

Assim, o ponto crítico é .

Passo 6

Para classificar o ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = 2, partial^2 zpartial y^2 = 2, e partial^2 zpartial x partial y = 0
Calculamos o discriminante:
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2 = 2 cdot 2 - 0 = 4
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de mínimo local.

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