Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e identificar os cortes da superfície quádrupla
. Isso está na área de geometria analítica, especificamente estudando superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar entender como essa equação se comporta quando a superfície é cortada por planos paralelos aos eixos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que significa cortar a superfície com planos paralelos a cada um dos eixos. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor a forma da superfície e como ela se comporta em diferentes direções.
Passo 3
Vamos começar cortando a superfície com planos paralelos ao plano
. Para isso, fixamos o valor de
e analisamos a equação:
Isso representa a equação de um círculo com raio
. Então, para cada valor de
, temos um círculo no plano
.
Passo 4
Agora, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano
. Fixamos o valor de
e observamos a equação:
Dependendo do valor de
, essa equação pode representar uma hipérbole ou uma linha. Se
, temos uma hipérbole real; se
, a equação representa duas linhas; e se
, não há solução real.
Passo 5
Por fim, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano
. Fixamos o valor de
e analisamos a equação:
Assim como no caso anterior, a forma resultante pode ser uma hipérbole, duas linhas ou nenhuma solução, dependendo do valor de
.
Resposta
Os cortes da superfície quádrupla
são:
- Planos paralelos a
: Círculos de raio . - Planos paralelos a
e paralelos a : Hipérboles, linhas ou nenhuma interseção, dependendo dos valores fixados de ou , respectivamente.
Exercícios relacionados
Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio
, carga
, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por
. Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.