Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e identificar os cortes da superfície quádrupla . Isso está na área de geometria analítica, especificamente estudando superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar entender como essa equação se comporta quando a superfície é cortada por planos paralelos aos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa cortar a superfície com planos paralelos a cada um dos eixos. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor a forma da superfície e como ela se comporta em diferentes direções.

Passo 3

Vamos começar cortando a superfície com planos paralelos ao plano . Para isso, fixamos o valor de e analisamos a equação:
Isso representa a equação de um círculo com raio . Então, para cada valor de , temos um círculo no plano .

Passo 4

Agora, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano . Fixamos o valor de e observamos a equação:
Dependendo do valor de , essa equação pode representar uma hipérbole ou uma linha. Se , temos uma hipérbole real; se , a equação representa duas linhas; e se , não há solução real.

Passo 5

Por fim, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano . Fixamos o valor de e analisamos a equação:
Assim como no caso anterior, a forma resultante pode ser uma hipérbole, duas linhas ou nenhuma solução, dependendo do valor de .

Resposta

Os cortes da superfície quádrupla são:
  • Planos paralelos a : Círculos de raio .
  • Planos paralelos a e paralelos a : Hipérboles, linhas ou nenhuma interseção, dependendo dos valores fixados de ou , respectivamente.

Exercícios relacionados

Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio , carga , mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por . Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em r>>R, temos que:
que a equação representa?
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
que a equação representa como uma curva em ?