Encontre e identifique os cortes da superfície quádrica x^2+y^2-z^2=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar e identificar os cortes da superfície quádrupla . Isso está na área de geometria analítica, especificamente estudando superfícies quádricas. Para resolver, vamos precisar entender como essa equação se comporta quando a superfície é cortada por planos paralelos aos eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa cortar a superfície com planos paralelos a cada um dos eixos. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor a forma da superfície e como ela se comporta em diferentes direções.

Passo 3

Vamos começar cortando a superfície com planos paralelos ao plano x^2 + y^2 - z^2 = 1 implies x^2 + y^2 = 1 + z^2 . Para isso, fixamos o valor de e analisamos a equação:
Isso representa a equação de um círculo com raio . Então, para cada valor de , temos um círculo no plano .

Passo 4

Agora, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano x^2 + y^2 - z^2 = 1 implies x^2 - z^2 = 1 - y^2 . Fixamos o valor de e observamos a equação:
Dependendo do valor de , essa equação pode representar uma hipérbole ou uma linha. Se , temos uma hipérbole real; se , a equação representa duas linhas; e se , não há solução real.

Passo 5

Por fim, vamos cortar a superfície com planos paralelos ao plano x^2 + y^2 - z^2 = 1 implies y^2 - z^2 = 1 - x^2 . Fixamos o valor de e analisamos a equação:
Assim como no caso anterior, a forma resultante pode ser uma hipérbole, duas linhas ou nenhuma solução, dependendo do valor de .

Resposta

Os cortes da superfície quádrupla são:
  • Planos paralelos a : Círculos de raio .
  • Planos paralelos a e paralelos a : Hipérboles, linhas ou nenhuma interseção, dependendo dos valores fixados de ou , respectivamente.

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