Uma superfície cilíndrica é definida por
. Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície lateral do cilindro.
b - Calcule o fluxo do campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície cilíndrica com raio
metros, altura variando de
a
metros e envolvendo todo o ângulo circular de
a
radianos. A tarefa é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície lateral desse cilindro. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de superfícies para encontrar o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido ou campo elétrico) que passa por essa superfície. Matemáticamente, é dado pela integral da componente do campo vetorial na direção normal à superfície, multiplicada pela área diferencial.
Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro, precisamos:
- Encontrar o vetor normal à superfície.
- Expressar a área diferencial da superfície.
- Calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal.
- Integrar esse produto sobre toda a superfície lateral.
Passo 3
Vamos começar identificando o vetor normal à superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas
, a direção radial é
. Como estamos lidando com a superfície lateral de um cilindro, o vetor normal é simplesmente
, já que aponta para fora do cilindro.
Então, o vetor normal
é:
Passo 4
Agora, precisamos expressar a área diferencial na superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na superfície lateral é dado por:
Aqui,
metros é o raio fixo do cilindro.
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto escalar entre o campo vetorial
e o vetor normal
. O campo vetorial é dado por:
E o vetor normal é
.
Então,
Isso porque
e
é perpendicular a
, então o produto escalar com
é zero.
Passo 6
Agora, juntando tudo, o fluxo
é a integral do produto escalar que encontramos multiplicado pela área diferencial sobre toda a superfície lateral. Matematicamente:
Substituindo os valores:
Lembrando que
m.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Calculando as integrais:
Então,
Passo 8
Substituindo
metros:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície superior
e especifique sua direção.
a - Determine o elemento de área
(b) Agora assuma que
e
e
. Obtenha a posição em função do tempo sabendo que a partícula estava inicialmente em
.
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
a - Determine o elemento de área na superfície esférica e indique a sua direção.
a - Determine o elemento de área
Considere um campo escalar
. Calcule o gradiente de
e avalie-o no ponto
.