Uma superfície cilíndrica é definida por rho=4 m, 0 <= z <= 6 m e 0 <= phi <= 2 pi. Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial F=3 rho rho+2 z k N / m^2 através da superfície lateral do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície cilíndrica com raio rho = 4 metros, altura variando de 0 a 6 metros e envolvendo todo o ângulo circular de 0 a 2pi radianos. A tarefa é calcular o fluxo do campo vetorial F = 3 rho, rho + 2 z, k através da superfície lateral desse cilindro. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de superfícies para encontrar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido ou campo elétrico) que passa por essa superfície. Matemáticamente, é dado pela integral da componente do campo vetorial na direção normal à superfície, multiplicada pela área diferencial.
Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro, precisamos:
  1. Encontrar o vetor normal à superfície.
  2. Expressar a área diferencial da superfície.
  3. Calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal.
  4. Integrar esse produto sobre toda a superfície lateral.

Passo 3

Vamos começar identificando o vetor normal à superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z), a direção radial é rho. Como estamos lidando com a superfície lateral de um cilindro, o vetor normal é simplesmente rho, já que aponta para fora do cilindro.
Então, o vetor normal n é:
n = rho

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área diferencial na superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na superfície lateral é dado por:
dS = rho, dphi, dz
Aqui, rho = 4 metros é o raio fixo do cilindro.

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar entre o campo vetorial F e o vetor normal n. O campo vetorial é dado por:
F = 3 rho, rho + 2 z, k
E o vetor normal é n = rho.
Então,
F cdot n = (3 rho, rho + 2 z, k) cdot rho = 3 rho
Isso porque rho cdot rho = 1 e k é perpendicular a rho, então o produto escalar com k é zero.

Passo 6

Agora, juntando tudo, o fluxo Phi é a integral do produto escalar que encontramos multiplicado pela área diferencial sobre toda a superfície lateral. Matematicamente:
Phi = integralsuperfície F cdot n, dS í
Substituindo os valores:
Phi = integral0^2pi integral0^6 3 rho cdot rho, dz, dphi
Lembrando que rho = 4 m.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Phi = 3 rho^2 integral0^2pi dphi integral0^6 dz
Calculando as integrais:
integral0^2pi dphi = 2pi
integral0^6 dz = 6
Então,
Phi = 3 rho^2 times 2pi times 6

Passo 8

Substituindo rho = 4 metros:
Phi = 3 times (4)^2 times 2pi times 6 = 3 times 16 times 12pi = 576pi

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro é boxed576,pi, Ncdotm^2.

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