Uma superfície cilíndrica é definida por . Com base nessas informações, resolva:
b - Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície cilíndrica com raio metros, altura variando de a metros e envolvendo todo o ângulo circular de a radianos. A tarefa é calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral desse cilindro. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de superfícies para encontrar o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “algo” (como um fluido ou campo elétrico) que passa por essa superfície. Matemáticamente, é dado pela integral da componente do campo vetorial na direção normal à superfície, multiplicada pela área diferencial.
Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro, precisamos:
  1. Encontrar o vetor normal à superfície.
  2. Expressar a área diferencial da superfície.
  3. Calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal.
  4. Integrar esse produto sobre toda a superfície lateral.

Passo 3

Vamos começar identificando o vetor normal à superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas , a direção radial é . Como estamos lidando com a superfície lateral de um cilindro, o vetor normal é simplesmente , já que aponta para fora do cilindro.
Então, o vetor normal é:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a área diferencial na superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na superfície lateral é dado por:
Aqui, metros é o raio fixo do cilindro.

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal . O campo vetorial é dado por:
E o vetor normal é .
Então,
Isso porque e é perpendicular a , então o produto escalar com é zero.

Passo 6

Agora, juntando tudo, o fluxo é a integral do produto escalar que encontramos multiplicado pela área diferencial sobre toda a superfície lateral. Matematicamente:
í
Substituindo os valores:
Lembrando que m.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Calculando as integrais:
Então,

Passo 8

Substituindo metros:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície lateral do cilindro é .

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