Considere o campo de escoamento dado por:
Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um campo de escoamento representado por uma função vetorial
que depende das coordenadas
,
e
. O exercício pede três coisas:
a) Descobrir quantas dimensões esse escoamento tem.
b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
c) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto específico
.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como componentes de vetores, divergência e aceleração em campos de velocidade. Vamos por partes!
Passo 2
Parte a: Número de dimensões do escoamento
Primeiro, precisamos entender o que significa o número de dimensões no contexto de um campo de escoamento. Um campo de escoamento pode ser tridimensional (3D), bidimensional (2D) ou até unidimensional (1D), dependendo de como a velocidade varia com as coordenadas espaciais.
Olhemos para a função dada:
Aqui, a velocidade
tem componentes em
,
e
(
,
,
), e cada componente depende das variáveis
e
. Note que não há dependência em
.
Isso significa que o escoamento varia nas direções
e
, mas não em
. Portanto, estamos lidando com um escoamento bidimensional.
Passo 3
Parte b: Verificação se o escoamento é incompressível
Um escoamento é considerado incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência (
) nos diz como o volume de um fluido está mudando naquele ponto. Se for zero, o fluido não está se comprimindo nem se expandindo.
Vamos calcular a divergência de
:
Dado:
Calculando cada derivada parcial:
Somando tudo:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Passo 4
Parte c: Cálculo da aceleração da partícula no ponto
A aceleração
de uma partícula de fluido em um campo de velocidade é dada pela derivada material da velocidade:
Como não há dependência explícita do tempo (
não depende de
), a primeira parte da derivada é zero. Então:
Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos encontrar os termos
:
Operador gradiente
:
Então:
Calculando:
Agora aplicamos isso a cada componente de
:
Para
:
Mas
, então fica:
Para
:
Para
:
Agora, unindo tudo, a aceleração
é:
Agora, substituímos o ponto
:
Calculando cada componente:
Portanto, a aceleração da partícula no ponto
é:
Resposta
a) O escoamento é bidimensional.
b) Sim, o escoamento é incompressível.
c) A aceleração da partícula no ponto
é
.
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Identifique a alternativa cujo campo de velocidades pode ser incompressível. Mostre que é a alternativa correta usando conceitos de Mecânica dos Fluidos.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
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