Considere o campo de escoamento dado por:
Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um campo de escoamento representado por uma função vetorial que depende das coordenadas , e . O exercício pede três coisas:
a) Descobrir quantas dimensões esse escoamento tem.
b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
c) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como componentes de vetores, divergência e aceleração em campos de velocidade. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Número de dimensões do escoamento
Primeiro, precisamos entender o que significa o número de dimensões no contexto de um campo de escoamento. Um campo de escoamento pode ser tridimensional (3D), bidimensional (2D) ou até unidimensional (1D), dependendo de como a velocidade varia com as coordenadas espaciais.
Olhemos para a função dada:
Aqui, a velocidade tem componentes em , e ( , , ), e cada componente depende das variáveis e . Note que não há dependência em .
Isso significa que o escoamento varia nas direções e , mas não em . Portanto, estamos lidando com um escoamento bidimensional.

Passo 3

Parte b: Verificação se o escoamento é incompressível
Um escoamento é considerado incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência ( ) nos diz como o volume de um fluido está mudando naquele ponto. Se for zero, o fluido não está se comprimindo nem se expandindo.
Vamos calcular a divergência de :
Dado:
Calculando cada derivada parcial:
Somando tudo:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Parte c: Cálculo da aceleração da partícula no ponto
A aceleração de uma partícula de fluido em um campo de velocidade é dada pela derivada material da velocidade:
Como não há dependência explícita do tempo ( não depende de ), a primeira parte da derivada é zero. Então:
Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos encontrar os termos :
Operador gradiente :
Então:
Calculando:
Agora aplicamos isso a cada componente de :
Para :
Mas , então fica:
Para :
, , então:
Para :
, então:
Agora, unindo tudo, a aceleração é:
Agora, substituímos o ponto :
Calculando cada componente:
Portanto, a aceleração da partícula no ponto é:

Resposta

a) O escoamento é bidimensional.
b) Sim, o escoamento é incompressível.
c) A aceleração da partícula no ponto é .

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c)
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