Considere o campo de escoamento dado por:
V=x y^3 imath-14 y^4 jmath+x y k
Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível escoamento incompressível e © a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(2,3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um campo de escoamento representado por uma função vetorial que depende das coordenadas , e . O exercício pede três coisas:
a) Descobrir quantas dimensões esse escoamento tem.
b) Verificar se esse escoamento é incompressível.
c) Calcular a aceleração de uma partícula de fluido no ponto específico .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como componentes de vetores, divergência e aceleração em campos de velocidade. Vamos por partes!

Passo 2

Parte a: Número de dimensões do escoamento
Primeiro, precisamos entender o que significa o número de dimensões no contexto de um campo de escoamento. Um campo de escoamento pode ser tridimensional (3D), bidimensional (2D) ou até unidimensional (1D), dependendo de como a velocidade varia com as coordenadas espaciais.
Olhemos para a função dada:
V = x y^3 imath - 14 y^4 jmath + x y k
Aqui, a velocidade tem componentes em , e ( , , ), e cada componente depende das variáveis e . Note que não há dependência em .
Isso significa que o escoamento varia nas direções e , mas não em . Portanto, estamos lidando com um escoamento bidimensional.

Passo 3

Parte b: Verificação se o escoamento é incompressível
Um escoamento é considerado incompressível se a divergência do campo de velocidade for igual a zero. A divergência ( nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z ) nos diz como o volume de um fluido está mudando naquele ponto. Se for zero, o fluido não está se comprimindo nem se expandindo.
Vamos calcular a divergência de Vx = x y^3, Vy = -14 y^4, Vz = x y :
partial Vxpartial x = partialpartial x (x y^3) = y^3
Dado:
partial Vypartial y = partialpartial y (-14 y^4) = - y^3
Calculando cada derivada parcial:
partial Vzpartial z = partialpartial z (x y) = 0
nabla cdot V = y^3 - y^3 + 0 = 0
Somando tudo:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Parte c: Cálculo da aceleração da partícula no ponto a = DVDt = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V
A aceleração a = (V cdot nabla) V de uma partícula de fluido em um campo de velocidade é dada pela derivada material da velocidade:
V = Vx imath + Vy jmath + Vz k = x y^3 imath - 14 y^4 jmath + x y k
Como não há dependência explícita do tempo ( nabla = imath partialpartial x + jmath partialpartial y + k partialpartial z não depende de V cdot nabla = Vx partialpartial x + Vy partialpartial y + Vz partialpartial z ), a primeira parte da derivada é zero. Então:
V cdot nabla = (x y^3) partialpartial x + (-14 y^4) partialpartial y + (x y) partialpartial z
Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos encontrar os termos (x y^3) partial Vxpartial x + (-14 y^4) partial Vxpartial y + (x y) partial Vxpartial z :
(x y^3) (y^3) + (-14 y^4) (3 x y^2) = x y^6 - 34 x y^6 = 14 x y^6
Operador gradiente (x y^3) partial Vypartial x + (-14 y^4) partial Vypartial y + (x y) partial Vypartial z :
(-14 y^4) (- y^3) = 14 y^7
Então:
(x y^3) partial Vzpartial x + (-14 y^4) partial Vzpartial y + (x y) partial Vzpartial z
Calculando:
(x y^3) (y) + (-14 y^4) (x) = x y^4 - 14 x y^4 = 34 x y^4
Agora aplicamos isso a cada componente de a = (14 x y^6) imath + (14 y^7) jmath + (34 x y^4) k :
Para x = 2, y = 3 :
ax = 14 times 2 times 3^6 = 14 times 2 times 729 = 2 times 7294 = 14584 = 364.5
Mas ay = 14 times 3^7 = 14 times 2187 = 546.75 , então fica:
az = 34 times 2 times 3^4 = 34 times 2 times 81 = 6 times 814 = 4864 = 121.5
Para a = 364.5 imath + 546.75 jmath + 121.5 k , m/s^2 :
, , então:
Para :
, então:
Agora, unindo tudo, a aceleração é:
Agora, substituímos o ponto :
Calculando cada componente:
Portanto, a aceleração da partícula no ponto é:

Resposta

a) O escoamento é bidimensional.
b) Sim, o escoamento é incompressível.
c) A aceleração da partícula no ponto é .

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