Identifique a alternativa cujo campo de velocidades pode ser incompressível. Mostre que é a alternativa correta usando conceitos de Mecânica dos Fluidos.
a) V(x, y, z, t)=sin (pi / 2)+x^2 y-z i+cos (pi)+x^2 y+z j+z k
b) u=x^2 t+2 y x ; v=x t^2-2 y x t-y x
c) V(x, y, z, t)=x i+cos (pi) y^2 j
d) u=x^3+2 y-z+t ; v=y^3+2 x+z+7+2 t ; w=3 x y+2 z^2-y+x+33
e) V(x, y, t)=sin (t)+cos (t)-x i+y cos (x)^2+sin (z)^2 j+z sin (x)^2+2 t^2, k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar qual das alternativas tem um campo de velocidades incompressível. Isso está ligado à Mecânica dos Fluidos, especificamente ao conceito de divergência do campo de velocidades. Para resolver, vamos precisar calcular a divergência de cada alternativa e ver qual delas resulta em zero, indicando incompressibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. A divergência de um campo de velocidades nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z é dada por:
Se a divergência for zero, o fluxo é incompressível.

Passo 3

Vamos analisar cada alternativa calculando a divergência:
a)
V(x, y, z, t) = (sin (pi / 2)+x^2 y - z)i + (cos (pi)+x^2 y + z)j + z k
Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = 2xy, partial vpartial y = x^2, partial wpartial z = 1
Divergência:
2xy + x^2 + 1 neq 0
b)
u = x^2 t + 2 y x; v = x t^2 - 2 y x t - y x
Como a alternativa não fornece partial upartial x = 2xt + 2y, partial vpartial y = -2xt - x, partial wpartial z = 0 , assumimos que 2xt + 2y - 2xt - x = 2y - x . Calculando:
2y - x = 0 Rightarrow x = 2y
Divergência:
V(x, y, z, t) = xi + cos (pi) y^2 j
Para ser zero:
partial upartial x = 1, partial vpartial y = 2y cos(pi) = -2y, partial wpartial z = 0
A divergência não é sempre zero, então não é incompressível.
c)
1 - 2y
Aqui, u = x^3 + 2y - z + t; v = y^3 + 2x + z + 7 + 2t; w = 3xy + 2z^2 - y + x + 33 . Calculando:
partial upartial x = 3x^2, partial vpartial y = 3y^2, partial wpartial z = 4z
Divergência:
3x^2 + 3y^2 + 4z neq 0
Não é sempre zero.
d)
V(x, y, t) = (sin (t)+cos (t)-x)i + y cos (x)^2 j + z sin (x)^2 + 2 t^2 k
Calculando:
partial upartial x = -1, partial vpartial y = cos^2(x), partial wpartial z = sin (x)^2
Divergência:
-1 + cos^2(x) + sin^2(x) = -1 + 1 = 0
e)
Calculando:
Divergência:

Resposta

A alternativa e) possui um campo de velocidades incompressível.

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