Considere o campo
e o ramo da parábola
ligando os pontos
e
. Calcule a integral de linha de
ao longo do ramo de parábola dado. Em seguida, sem usar a definição, verifique se
é um campo conservativo.
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis
.)
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e um ramo da parábola
que liga os pontos
e
. Precisamos calcular a integral de linha desse campo ao longo dessa parábola e depois verificar se o campo
é conservativo sem usar a definição direta. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha de
ao longo da parábola
. Para isso, precisamos parametrizar a curva. Vamos usar
como parâmetro, já que
é expresso em função de
.
Então, temos:
Para
variando de
a
.
Agora, vamos encontrar
:
O próximo passo é substituir
e
na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Como estamos integrando de
a
e
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Agora, substituindo de volta:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos usar
, então
ou
.
Substituindo:
Agora, avaliando de
a
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo
é conservativo sem usar a definição direta. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Uma forma de verificar isso é checar se o rotacional de
é zero.
Calculando o rotacional de
:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Como o rotacional não é zero (exceto no ponto de origem onde a função não está definida), concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
A integral de linha de
ao longo da parábola
de
a
é igual a 0. Além disso, o campo
não é conservativo.