Considere o campo F(x, y) = -y / raiz(x^2 + y^2) * i + x / raiz(x^2 + y^2) * j e o ramo da parábola y = x^2 ligando os pontos (-1, 1) e 1,1. Calcule a integral de linha de F ao longo do ramo de parábola dado. Em seguida, sem usar a definição, verifique se F é um campo conservativo.
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis raiz(2 t^2 - 2 t + 1) = raiz(2) t + u.)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e um ramo da parábola que liga os pontos e . Precisamos calcular a integral de linha desse campo ao longo dessa parábola e depois verificar se o campo é conservativo sem usar a definição direta. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha de ao longo da parábola . Para isso, precisamos parametrizar a curva. Vamos usar como parâmetro, já que é expresso em função de .
Então, temos:
Para variando de a .
Agora, vamos encontrar :
O próximo passo é substituir e na integral:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Como estamos integrando de a e é sempre positivo, podemos simplificar para:
Agora, substituindo de volta:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos usar , então ou .
Substituindo:
Agora, avaliando de a :

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo é conservativo sem usar a definição direta. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma forma de verificar isso é checar se o rotacional de é zero.
Calculando o rotacional de :
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Como o rotacional não é zero (exceto no ponto de origem onde a função não está definida), concluímos que o campo não é conservativo.

Resposta

A integral de linha de ao longo da parábola de a é igual a 0. Além disso, o campo não é conservativo.

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