Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral I=integralr(sen(x y)+x y cos (x y)) d x+x^2 cos (x y) d y é independente do caminho?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha:
I = integralr ( sin(x y) + x y cos(x y) ) dx + x^2 cos(x y) dy
A pergunta é: Essa integral é independente do caminho?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha independente do caminho. Basicamente, se a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto que a gente faz entre eles, ela é independente do caminho. Isso está ligado a um conceito chamado campo conservativo ou forma diferencial exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando M(x, y) = sin(x y) + x y cos(x y) e N(x, y) = x^2 cos(x y) . Vamos chamar de:
Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se a condição de exatidão é satisfeita. Em um campo bidimensional, isso significa verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular partial Mpartial y = partialpartial y ( sin(x y) + x y cos(x y) ) :
partial Mpartial y = x cos(x y) + x cos(x y) - x^2 y sin(x y)
Aplicando a derivada:
partial Mpartial y = 2x cos(x y) - x^2 y sin(x y)
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Npartial x = partialpartial x ( x^2 cos(x y) ) :
partial Npartial x = 2x cos(x y) - x^3 y sin(x y)
Aplicando a derivada:

Passo 5

Agora, vamos comparar partial Mpartial y = 2x cos(x y) - x^2 y sin(x y) e partial Npartial x = 2x cos(x y) - x^3 y sin(x y) :
Vemos que porque o termo com está presente apenas na derivada de .

Passo 6

Como as derivadas parciais não são iguais, a condição de exatidão não é satisfeita. Isso significa que a integral não é independente do caminho.

Resposta

Não, a integral não é independente do caminho.

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