Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral
é independente do caminho?
(14.1) A integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha:
A pergunta é: Essa integral é independente do caminho?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha independente do caminho. Basicamente, se a integral depende apenas dos pontos inicial e final, e não do trajeto que a gente faz entre eles, ela é independente do caminho. Isso está ligado a um conceito chamado campo conservativo ou forma diferencial exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Vamos chamar de:
Para verificar se a integral é independente do caminho, precisamos ver se a condição de exatidão é satisfeita. Em um campo bidimensional, isso significa verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a derivada:
Passo 5
Agora, vamos comparar
e
:
Vemos que
porque o termo com
está presente apenas na derivada de
.
Passo 6
Como as derivadas parciais não são iguais, a condição de exatidão não é satisfeita. Isso significa que a integral não é independente do caminho.
Resposta
Não, a integral não é independente do caminho.