Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas: (y^2 + 3) dx + (2yx - 4) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me passou: . Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, um assunto de cálculo que envolve encontrar uma função que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a equação é exata e, se for, como encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, uma equação diferencial está na forma exata quando podemos escrevê-la como a derivada total de alguma função . Ou seja, queremos encontrar tal que:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos ver se as derivadas parciais misturadas são iguais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função . Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que precisamos determinar.

Passo 5

Em seguida, diferenciamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :

Passo 6

Integramos para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é onde é constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

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