Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você me passou:
. Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Exatas, um assunto de cálculo que envolve encontrar uma função que satisfaça a equação. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se a equação é exata e, se for, como encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial está na forma exata quando podemos escrevê-la como a derivada total de alguma função
. Ou seja, queremos encontrar
tal que:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos ver se as derivadas parciais misturadas são iguais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 5
Em seguida, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Integramos
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
de volta na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é onde
é constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.