Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve derivadas segunda de . A tarefa é descobrir se dá pra resolver essa equação usando uma série de potências centrada no ponto . Pra isso, a gente vai precisar entender sobre séries de potências, equações diferenciais lineares e também sobre o raio de convergência dessas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Queremos encontrar uma solução na forma de série de potências em torno de . Isso significa que vamos assumir que pode ser escrito como:
onde e são os coeficientes a determinar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:
Passo 4
Para facilitar, vamos expandir em termos de . Sabendo que , temos:
Multiplicando:
Para simplificar, vamos considerar apenas até o termo constante, já que os termos lineares vão se combinar com a série.
Passo 5
Substituindo de volta na equação diferencial:
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de . Faremos uma mudança de índice na primeira soma:
Isso resulta em:
Passo 6
Para que essa equação seja válida para todo na vizinhança de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Resolvendo para :
Passo 7
Essa relação de recorrência nos indica como calcular os coeficientes a partir dos anteriores . Os dois primeiros coeficientes e são geralmente definidos pelas condições iniciais da equação, mas como não temos condições específicas, podemos expressar a solução geral em termos de e .
Passo 8
Agora, para determinar o conjunto de valores para os quais a série converge, precisamos analisar o raio de convergência da série de potências. O raio de convergência pode ser encontrado usando o critério da razão:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 9
Aplicando a relação de recorrência:
Podemos ver que, à medida que cresce, o termo tende a zero. Isso sugere que a série tem um raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo em torno de .
Resposta
Existe uma solução em série de potências centrada em para a equação diferencial . Além disso, a série converge para todos os valores de , ou seja, o conjunto de convergência é todo o conjunto dos números reais.