Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
x(1-x) y'' + y = 0, a = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve derivadas segunda de . A tarefa é descobrir se dá pra resolver essa equação usando uma série de potências centrada no ponto . Pra isso, a gente vai precisar entender sobre séries de potências, equações diferenciais lineares e também sobre o raio de convergência dessas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Queremos encontrar uma solução na forma de série de potências em torno de . Isso significa que vamos assumir que pode ser escrito como:
onde e são os coeficientes a determinar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos e na equação diferencial:

Passo 4

Para facilitar, vamos expandir em termos de . Sabendo que , temos:
Multiplicando:
Para simplificar, vamos considerar apenas até o termo constante, já que os termos lineares vão se combinar com a série.

Passo 5

Substituindo de volta na equação diferencial:
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de . Faremos uma mudança de índice na primeira soma:
Isso resulta em:

Passo 6

Para que essa equação seja válida para todo na vizinhança de , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos a relação de recorrência:
Resolvendo para :

Passo 7

Essa relação de recorrência nos indica como calcular os coeficientes a partir dos anteriores . Os dois primeiros coeficientes e são geralmente definidos pelas condições iniciais da equação, mas como não temos condições específicas, podemos expressar a solução geral em termos de e .

Passo 8

Agora, para determinar o conjunto de valores para os quais a série converge, precisamos analisar o raio de convergência da série de potências. O raio de convergência pode ser encontrado usando o critério da razão:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 9

Aplicando a relação de recorrência:
Podemos ver que, à medida que cresce, o termo tende a zero. Isso sugere que a série tem um raio de convergência infinito, ou seja, converge para todo em torno de .

Resposta

Existe uma solução em série de potências centrada em para a equação diferencial . Além disso, a série converge para todos os valores de , ou seja, o conjunto de convergência é todo o conjunto dos números reais.

Exercícios relacionados

Considere o campo F(x, y) = -y / raiz(x^2 + y^2) * i + x / raiz(x^2 + y^2) * j e o ramo da parábola y = x^2 ligando os pontos (-1, 1) e 1,1. Calcule a integral de linha de F ao longo do ramo de parábola dado. Em seguida, sem usar a definição, verifique se F é um campo conservativo.
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis raiz(2 t^2 - 2 t + 1) = raiz(2) t + u.)
Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.1) F é um campo conservativo? Por que?
Responda aos itens abaixo:
(14.1) A integral I=integralr(sen(x y)+x y cos (x y)) d x+x^2 cos (x y) d y é independente do caminho?
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto x = a, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
(x^2 + x) y'' + (x - 2) y = 0, a = 1