Seja um campo de forças dado por
.
(15.1)
é um campo conservativo? Por que?
(15.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de forças
e precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Campos conservativos são importantes porque eles permitem que a gente encontre uma função potencial, facilitando muitos cálculos em física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o rotacional do campo é zero. Então, para verificar se nosso campo
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Depois de calcular todas as componentes do rotacional, vimos que:
Isso significa que o rotacional de
é zero em todo o espaço considerado. Segundo as propriedades dos campos vetoriais, se o rotacional de um campo é zero e o domínio é simplesmente conexo (o que normalmente assumimos aqui), então o campo é conservativo.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque o seu rotacional é igual a zero.
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Resolva as seguintes Equações Diferenciais Exatas:
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Considere o campo
e o ramo da parábola
ligando os pontos
e
. Calcule a integral de linha de
ao longo do ramo de parábola dado. Em seguida, sem usar a definição, verifique se
é um campo conservativo.
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis .)
(Sugestão: Na segunda parte considere um segmeto de reta ligando A a B e mais adiante faça a mudança de variáveis
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.