Seja um campo de forças dado por F(x, y, z) = (3 x^2 y z + e^z, x^3 z, x^3 y + x e^z + 3 z^2).
(15.1) F é um campo conservativo? Por que?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de forças e precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Campos conservativos são importantes porque eles permitem que a gente encontre uma função potencial, facilitando muitos cálculos em física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o rotacional do campo é zero. Então, para verificar se nosso campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de e ver se ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 4

Depois de calcular todas as componentes do rotacional, vimos que:
Isso significa que o rotacional de é zero em todo o espaço considerado. Segundo as propriedades dos campos vetoriais, se o rotacional de um campo é zero e o domínio é simplesmente conexo (o que normalmente assumimos aqui), então o campo é conservativo.

Resposta

Sim, o campo é conservativo porque o seu rotacional é igual a zero.

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