Seja um campo de forças dado por
.
(15.1)
é um campo conservativo? Por que?
(15.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de forças
e precisamos descobrir se esse campo é conservativo. Campos conservativos são importantes porque eles permitem que a gente encontre uma função potencial, facilitando muitos cálculos em física e matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo é conservativo se ele for igual ao gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Uma propriedade chave dos campos conservativos é que o rotacional do campo é zero. Então, para verificar se nosso campo
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
e ver se ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 4
Depois de calcular todas as componentes do rotacional, vimos que:
Isso significa que o rotacional de
é zero em todo o espaço considerado. Segundo as propriedades dos campos vetoriais, se o rotacional de um campo é zero e o domínio é simplesmente conexo (o que normalmente assumimos aqui), então o campo é conservativo.
Resposta
Sim, o campo
é conservativo porque o seu rotacional é igual a zero.