Uma fina camada de líquido, escoando a partir de um plano inclinado, tem um perfil de velocidades igual a vx=v0(2 y / h-y^2 / h^2), em que v0 é a velocidade superficial. Se o plano tiver uma largura de 10 cm (direção z), h=2 cm e a vazão volumétrica for de 2 L / min, estime v0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma camada fina de líquido escorrendo por um plano inclinado. O enunciado te dá a equação do perfil de velocidades, algumas medidas do sistema e a vazão volumétrica. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade na superfície do líquido, representada por . Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à vazão e perfis de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a vazão volumétrica. A vazão volumétrica ( 2, L/min = 2 times 10^-3, m^360, s = 2 times 10^-360, m^3/s approx 3.33 times 10^-5, m^3/s ) é a quantidade de líquido que passa por uma área por unidade de tempo. No nosso caso, sabemos que . Precisamos converter isso para unidades mais confortáveis, como metros cúbicos por segundo ( ):

Passo 3

Agora, vamos analisar o perfil de velocidades fornecido:
vx = v0 ( 2yh - y^2h^2 )
Aqui, é a velocidade na direção do fluxo em uma posição dentro da camada de líquido, é a espessura da camada (2 cm), e é a velocidade na superfície que queremos encontrar. Para relacionar isso com a vazão, precisamos integrar essa velocidade sobre a área por onde o líquido está fluindo.

Passo 4

A vazão volumétrica Q = integral0^h vx cdot L , dy pode ser encontrada integrando a velocidade sobre a área da seção transversal. A área aqui é o produto da largura do plano inclinado pela espessura da camada. A largura Q = integral0^h v0 ( 2yh - y^2h^2 ) L , dy é 10 cm, ou 0.1 m, e a espessura é 2 cm, ou 0.02 m.
Então, a vazão é:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos fatorar Q = v0 cdot L integral0^h ( 2yh - y^2h^2 ) dy :
integral0^h 2yh dy = 2h cdot y^22 |0^h = 2h cdot h^22 = h
Agora, integramos termo a termo:
integral0^h y^2h^2 dy = 1h^2 cdot y^33 |0^h = 1h^2 cdot h^33 = h3
Q = v0 cdot L ( h - h3 ) = v0 cdot L cdot 2h3
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora, vamos resolver para v0 = QL cdot 2h3 = 3Q2Lh :
Q = 3.33 times 10^-5, m^3/s, L = 0.1, m, h = 0.02, m
Substituindo os valores conhecidos:
v0 = 3 times 3.33 times 10^-52 times 0.1 times 0.02 = 9.99 times 10^-50.004 approx 0.025, m/s

Resposta

A velocidade na superfície do líquido é aproximadamente .

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