Uma fina camada de líquido, escoando a partir de um plano inclinado, tem um perfil de velocidades igual a , em que é a velocidade superficial. Se o plano tiver uma largura de 10 cm (direção z), e a vazão volumétrica for de , estime .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma camada fina de líquido escorrendo por um plano inclinado. O enunciado te dá a equação do perfil de velocidades, algumas medidas do sistema e a vazão volumétrica. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade na superfície do líquido, representada por . Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente relacionados à vazão e perfis de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a vazão volumétrica. A vazão volumétrica () é a quantidade de líquido que passa por uma área por unidade de tempo. No nosso caso, sabemos que . Precisamos converter isso para unidades mais confortáveis, como metros cúbicos por segundo ():
Passo 3
Agora, vamos analisar o perfil de velocidades fornecido:
Aqui, é a velocidade na direção do fluxo em uma posição dentro da camada de líquido, é a espessura da camada (2 cm), e é a velocidade na superfície que queremos encontrar. Para relacionar isso com a vazão, precisamos integrar essa velocidade sobre a área por onde o líquido está fluindo.
Passo 4
A vazão volumétrica pode ser encontrada integrando a velocidade sobre a área da seção transversal. A área aqui é o produto da largura do plano inclinado pela espessura da camada. A largura é 10 cm, ou 0.1 m, e a espessura é 2 cm, ou 0.02 m.
Então, a vazão é:
Substituindo :
Passo 5
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, podemos fatorar :
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo de volta na expressão para :
Passo 6
Agora, vamos resolver para :
Substituindo os valores conhecidos:
Resposta
A velocidade na superfície do líquido é aproximadamente .