Considere o campo de vetores
e as curvas
e
.
Calcule as integrais de linha:
e
.
Calcule as integrais de linha:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo de vetores
e duas curvas
e
. Nosso objetivo é calcular as integrais de linha
e
.
Aqui, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especialmente o conceito de integrais de linha, que nos ajuda a somar os efeitos de um campo de vetores ao longo de uma trajetória. Vamos precisar parametrizar as curvas, substituir no campo de vetores e integrar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na curva
com
variando de 0 a 1. Para calcular a integral de linha
, vamos seguir estes passos:
-
Encontrar as derivadas das componentes da curva: Isso nos dá
, e . -
Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores
: Isso nos dá . -
Calcular o produto escalar
: Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos. -
Integrar em relação a
de 0 a 1.
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
1. Derivadas das componentes da curva
:
Então,
2. Substituindo
no campo de vetores
:
Simplificando cada componente:
Passo 4
3. Calculando o produto escalar
:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 5
4. Integrando em relação a
de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de linha para a curva
com
variando de 0 a 2. Vamos seguir os mesmos passos:
- Encontrar as derivadas das componentes da curva.
- Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores
. - Calcular o produto escalar
. - Integrar em relação a
de 0 a 2.
Vamos lá!
Passo 7
1. Derivadas das componentes da curva
:
Então,
2. Substituindo
no campo de vetores
:
Simplificando cada componente:
Passo 8
3. Calculando o produto escalar
:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando tudo:
Passo 9
4. Integrando em relação a
de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Resposta
A integral de linha ao longo da curva
é 4 e ao longo da curva
é 40.
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