Considere o campo de vetores
X(x, y, z)=(2 x+y z, 2 y+x z, 2 z+x y)=(L, M, N)
e as curvas gamma(t)=(t, t^2, t^4), 0 <= t <= 1 e beta(t)=(t, t, t^2), 0 <= t <= 2.
Calcule as integrais de linha: integralgamma X cdot d gamma=integralgamma L d x+M d y+N d z e integralbeta X cdot d beta.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo de vetores e duas curvas e . Nosso objetivo é calcular as integrais de linha e .
Aqui, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especialmente o conceito de integrais de linha, que nos ajuda a somar os efeitos de um campo de vetores ao longo de uma trajetória. Vamos precisar parametrizar as curvas, substituir no campo de vetores e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na curva com variando de 0 a 1. Para calcular a integral de linha , vamos seguir estes passos:
  1. Encontrar as derivadas das componentes da curva: Isso nos dá , e .
  2. Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores : Isso nos dá .
  3. Calcular o produto escalar : Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos.
  4. Integrar em relação a de 0 a 1.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

1. Derivadas das componentes da curva gamma(t) = (t, t^2, t^4) :
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 4t^3
Então,
X(gamma(t)) = (2t + t^2 cdot t^4, , 2t^2 + t cdot t^4, , 2t^4 + t cdot t^2)
2. Substituindo X(gamma(t)) = (2t + t^6, , 2t^2 + t^5, , 2t^4 + t^3) no campo de vetores :
Simplificando cada componente:

Passo 4

3. Calculando o produto escalar X cdot dgamma = L , dx + M , dy + N , dz :
X cdot dgamma = (2t + t^6)(1) + (2t^2 + t^5)(2t) + (2t^4 + t^3)(4t^3)
Substituindo os valores:
X cdot dgamma = 2t + t^6 + 4t^3 + 2t^6 + 8t^7 + 4t^6
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo: X cdot dgamma = 2t + 4t^3 + (1t^6 + 2t^6 + 4t^6) + 8t^7 = 2t + 4t^3 + 7t^6 + 8t^7
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 5

4. Integrando em relação a integral0^1 (2t + 4t^3 + 7t^6 + 8t^7) , dt de 0 a 1:
integral0^1 (2t + 4t^3 + 7t^6 + 8t^7) , dt = [ t^2 + t^4 + t^7 + t^8 ]0^1 = (1^2 + 1^4 + 1^7 + 1^8) - (0 + 0 + 0 + 0) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha para a curva com variando de 0 a 2. Vamos seguir os mesmos passos:
  1. Encontrar as derivadas das componentes da curva.
  2. Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores .
  3. Calcular o produto escalar .
  4. Integrar em relação a de 0 a 2.
Vamos lá!

Passo 7

1. Derivadas das componentes da curva beta(t) = (t, t, t^2) :
dxdt = 1, dydt = 1, dzdt = 2t
Então,
X(beta(t)) = (2t + t cdot t^2, , 2t + t cdot t^2, , 2t^2 + t cdot t)
2. Substituindo X(beta(t)) = (2t + t^3, , 2t + t^3, , 2t^2 + t^2) = (2t + t^3, 2t + t^3, 3t^2) no campo de vetores :
Simplificando cada componente:

Passo 8

3. Calculando o produto escalar X cdot dbeta = L , dx + M , dy + N , dz :
X cdot dbeta = (2t + t^3)(1) + (2t + t^3)(1) + (3t^2)(2t)
Substituindo os valores:
X cdot dbeta = 2t + t^3 + 2t + t^3 + 6t^3 = 4t + 8t^3
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:

Passo 9

4. Integrando em relação a integral0^2 (4t + 8t^3) , dt de 0 a 2:
integral0^2 (4t + 8t^3) , dt = [ 2t^2 + 2t^4 ]0^2 = (2(2)^2 + 2(2)^4) - (0 + 0) = 2 cdot 4 + 2 cdot 16 = 8 + 32 = 40
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é 4 e ao longo da curva é 40.

Exercícios relacionados