Considere o campo de vetores
e as curvas e .
Calcule as integrais de linha: e .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um campo de vetores e duas curvas e . Nosso objetivo é calcular as integrais de linha e .
Aqui, vamos usar um pouco de cálculo vetorial, especialmente o conceito de integrais de linha, que nos ajuda a somar os efeitos de um campo de vetores ao longo de uma trajetória. Vamos precisar parametrizar as curvas, substituir no campo de vetores e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na curva com variando de 0 a 1. Para calcular a integral de linha , vamos seguir estes passos:
  1. Encontrar as derivadas das componentes da curva: Isso nos dá , e .
  2. Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores : Isso nos dá .
  3. Calcular o produto escalar : Multiplicamos as componentes correspondentes e somamos.
  4. Integrar em relação a de 0 a 1.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

1. Derivadas das componentes da curva :
Então,
2. Substituindo no campo de vetores :
Simplificando cada componente:

Passo 4

3. Calculando o produto escalar :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:
Vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 5

4. Integrando em relação a de 0 a 1:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de linha para a curva com variando de 0 a 2. Vamos seguir os mesmos passos:
  1. Encontrar as derivadas das componentes da curva.
  2. Substituir as coordenadas da curva no campo de vetores .
  3. Calcular o produto escalar .
  4. Integrar em relação a de 0 a 2.
Vamos lá!

Passo 7

1. Derivadas das componentes da curva :
Então,
2. Substituindo no campo de vetores :
Simplificando cada componente:

Passo 8

3. Calculando o produto escalar :
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:

Passo 9

4. Integrando em relação a de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é 4 e ao longo da curva é 40.

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