Questão: Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à taxa de . A altura do cone é 24 cm e o raio da base é 12 cm . Encontre a velocidade com que baixa o nível da água, quando está a 10 cm do fundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cone invertido cheio de água que está vazando. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando a altura da água está a 10 cm do fundo. Vamos precisar usar cálculo, especificamente taxas relacionadas, e um pouco de geometria para relacionar as medidas do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões do cone: a altura total é de 24 cm e o raio da base é de 12 cm. Como o cone é invertido, a água forma também um cone menor dentro dele. Precisamos relacionar o raio da água com a altura atual da água.

Passo 3

Usamos a semelhança dos triângulos para relacionar o raio da água com a altura dela. A proporção é:
Então, .

Passo 4

O volume de um cone é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Sabemos que a água está sendo vazada a uma taxa de (negativo porque o volume está diminuindo). Queremos encontrar quando .

Passo 6

Derivamos a expressão do volume em relação ao tempo:

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Substituímos os valores conhecidos ( cm³/min e cm):

Resposta

A velocidade com que o nível da água está descendo quando a altura é de 10 cm é de aproximadamente cm/min, ou cerca de -0,076 cm/min.

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e as curvas e .
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