Questão: Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à taxa de
. A altura do cone é 24 cm e o raio da base é 12 cm . Encontre a velocidade com que baixa o nível da água, quando está a 10 cm do fundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cone invertido cheio de água que está vazando. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está descendo quando a altura da água está a 10 cm do fundo. Vamos precisar usar cálculo, especificamente taxas relacionadas, e um pouco de geometria para relacionar as medidas do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões do cone: a altura total é de 24 cm e o raio da base é de 12 cm. Como o cone é invertido, a água forma também um cone menor dentro dele. Precisamos relacionar o raio da água com a altura atual da água.
Passo 3
Usamos a semelhança dos triângulos para relacionar o raio
da água com a altura
dela. A proporção é:
Então,
.
Passo 4
O volume
de um cone é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Sabemos que a água está sendo vazada a uma taxa de
(negativo porque o volume está diminuindo). Queremos encontrar
quando
.
Passo 6
Derivamos a expressão do volume em relação ao tempo:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Substituímos os valores conhecidos (
cm³/min e
cm):
Resposta
A velocidade com que o nível da água está descendo quando a altura é de 10 cm é de aproximadamente
cm/min, ou cerca de -0,076 cm/min.
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Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos de
na regiào triangular de vértices
e
.
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onde prepresenta o preço unitário em dólares e
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cópias dessa gravação clássica é dado por
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por pé linear e a cerca de aço custa
por pé linear, determine as dimensões da área cercada que pode ser construída com custo mínimo.
Considere o campo de vetores
e as curvas
e
.
Calcule as integrais de linha: e
.
Calcule as integrais de linha: